\[\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bff}{\mathbf{f}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bi}{\mathbf{i}}
\newcommand{\bj}{\mathbf{j}}
\newcommand{\bk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bo}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\bzero}{\mathbf{0}}
\newcommand{\nv}{\mathbf{0}}
\newcommand{\cA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\cD}{\mathcal{D}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\cG}{\mathcal{G}}
\newcommand{\cH}{\mathcal{H}}
\newcommand{\cI}{\mathcal{I}}
\newcommand{\cJ}{\mathcal{J}}
\newcommand{\cK}{\mathcal{K}}
\newcommand{\cL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\cM}{\mathcal{M}}
\newcommand{\cN}{\mathcal{N}}
\newcommand{\cO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\cP}{\mathcal{P}}
\newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}}
\newcommand{\cR}{\mathcal{R}}
\newcommand{\cS}{\mathcal{S}}
\newcommand{\cT}{\mathcal{T}}
\newcommand{\cU}{\mathcal{U}}
\newcommand{\cV}{\mathcal{V}}
\newcommand{\cW}{\mathcal{W}}
\newcommand{\cX}{\mathcal{X}}
\newcommand{\cY}{\mathcal{Y}}
\newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}}
\newcommand{\rA}{\mathrm{A}}
\newcommand{\rB}{\mathrm{B}}
\newcommand{\rC}{\mathrm{C}}
\newcommand{\rD}{\mathrm{D}}
\newcommand{\rE}{\mathrm{E}}
\newcommand{\rF}{\mathrm{F}}
\newcommand{\rG}{\mathrm{G}}
\newcommand{\rH}{\mathrm{H}}
\newcommand{\rI}{\mathrm{I}}
\newcommand{\rJ}{\mathrm{J}}
\newcommand{\rK}{\mathrm{K}}
\newcommand{\rL}{\mathrm{L}}
\newcommand{\rM}{\mathrm{M}}
\newcommand{\rN}{\mathrm{N}}
\newcommand{\rO}{\mathrm{O}}
\newcommand{\rP}{\mathrm{P}}
\newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}}
\newcommand{\rR}{\mathrm{R}}
\newcommand{\rS}{\mathrm{S}}
\newcommand{\rT}{\mathrm{T}}
\newcommand{\rU}{\mathrm{U}}
\newcommand{\rV}{\mathrm{V}}
\newcommand{\rW}{\mathrm{W}}
\newcommand{\rX}{\mathrm{X}}
\newcommand{\rY}{\mathrm{Y}}
\newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}}
\newcommand{\pv}{\overline}
\newcommand{\iu}{\mathrm{i}}
\newcommand{\ju}{\mathrm{j}}
\newcommand{\im}{\mathrm{i}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\real}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\imag}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}}
\newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}}
\DeclareMathOperator*{\res}{res}
\newcommand{\re}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}}
\newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}}
\newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{proj}}
\newcommand{\rref}{\operatorname{rref}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
\newcommand{\Span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\vir}{\operatorname{span}}
\renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}}
\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
\newcommand{\geom}{\operatorname{geom}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert}
\newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]}
\newcommand{\piste}{\cdot}
\newcommand{\qedhere}{}
\newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]}
\newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]}
\newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}
\newcommand{\trans}{\mathrm{T}}
\newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}}
\newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}}
\newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}}
\newcommand{\num}[2][]{#2}
\newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}}
\newcommand{\meter}{m}
\newcommand{\metre}{\meter}
\newcommand{\kilo}{k}
\newcommand{\kilogram}{kg}
\newcommand{\gram}{g}
\newcommand{\squared}{^2}
\newcommand{\cubed}{^3}
\newcommand{\minute}{min}
\newcommand{\hour}{h}
\newcommand{\second}{s}
\newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C}
\newcommand{\per}{/}
\newcommand{\centi}{c}
\newcommand{\milli}{m}
\newcommand{\deci}{d}
\newcommand{\percent}{\%}
\newcommand{\Var}{\operatorname{Var}}
\newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}}
\newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}}
\newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}}
\newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}}
\newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}}
\newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}}
\newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}}
\newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}}
\newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}}
\newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}}
\newcommand{\tdist}{\operatorname{t}}
\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}
\newcommand{\oiint}{\unicode{x222F}}\]
Pinta-ala ja pintaintegraali
Seuraava tulos voitaisi nimetä myös lauseeksi, jos pinta-alan
käsite olisi ennestään määritelty myös pinnoille, eikä pelkästään
tasoalueille. Näin ei ainakaan tällä kurssilla
ole vielä tehty, joten se esitetään määritelmänä, jonka oikeutus
perustellaan geometrisesti.
Perustelu: Tarkastellaan parametrialueen pistettä \((u_0,v_0)\in\Omega\).
Vastaavan pinnan pisteen \(\mathbf{r}(u_0,v_0)\) kautta kulkee
kaksi käyrää, joilla on parametrisoinnit
\[\overline{\alpha} (t)= \mathbf{r}(t,v_0) \ \text{ ja }\ \overline{\beta} (s)= \mathbf{r}(u_0,s).\]
Kuten aikaisemmin, niiden tangenttivektorit
\[\overline{\alpha}\, ' (t)=\mathbf{r}_u=\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}
=x_u\, \bi+y_u\, \bj +z_u\, \bk\ \text{ ja }\
\overline{\beta}\, ' (s)=\mathbf{r}_v=\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}
=x_v\, \bi+y_v\, \bj +z_v\, \bk\]
ovat myös pinnan tangentteja, ja niiden ristitulon avulla saadaan
pinnan normaali
\[\mathbf{N}=\mathbf{r}_u\times \mathbf{r}_v.\]
Kaikki osittaisderivaatat lasketaan pisteessä \((u_0,v_0)\).
Tutkitaan tarkemmin pienen parametriruudun
(1)\[u_0\le u\le u_0+\Delta u,\ v_0\le v\le v_0+\Delta v\]
kuvautumista ja sen pinta-alan \(\Delta A=\Delta u\, \Delta v\) muutosta.
Ruudun vaakasuoran alareunan paras approksimaatio
pinnan tangenttitasolla on vektori
\[\mathbf{a}= \overline{\alpha}\, ' (u_0)\Delta u=\mathbf{r}_u \Delta u\]
ja pystysuoran vasemman reunan approksimaatio on
\[\mathbf{b}= \overline{\beta}\, ' (v_0)\Delta v=\mathbf{r}_v \Delta v.\]
Näiden vektoreiden virittämä
suunnikas (pinnan tangenttitasolla) approksimoi sitä, miltä
parametriruutua (1) vastaava joukko näyttää pinnalla.
Ristitulon ominaisuuksien perusteella tämän suunnikkaan pinta-ala on
\[\Delta S = \|\mathbf{a} \times \mathbf{b}\|
= \| \mathbf{N}(u_0,v_0)\| \, \Delta u\, \Delta v
=\| \mathbf{N}(u_0,v_0)\|\, \Delta A,\]
joka perustelee väitteen.
Esimerkki 5.5.2
\(R\)-säteisen pallon parametrisoinnissa
\[\mathbf{r}(\varphi,\theta) = (R\sin\varphi\cos\theta,R\sin\varphi\sin\theta,R\cos\varphi)\]
on
\[\mathbf{r}_{\varphi} = R\cos \varphi\cos\theta\,\bi+R\cos \varphi\sin\theta\,\bj
- R\sin\varphi \, \bk\]
ja
\[\mathbf{r}_{\theta} = -R\sin \varphi\sin\theta\,\bi+R\cos \varphi\cos\theta\,\bj,\]
josta saadaan
\[\mathbf{N} = \mathbf{r}_{\varphi}\times \mathbf{r}_{\theta} =
R\sin \varphi (\, \underbrace{R\sin\varphi\cos\theta\, \bi +R\sin\varphi\sin\theta\, \bj +R\cos\varphi\, \bk}_{=\br=R\mathbf{e}_r}\, )
=R^2\sin\varphi \, \mathbf{e}_r.\]
Pinta-alan suurennussuhde on siis \(R^2\sin\varphi\), kuten jo aikaisemmin todettiin,
koska pallokoordinaatisto on ortogonaalinen käyräviivainen koordinaatisto.
Huomaa, että parametrisoinnin avulla saatu normaali surkastuu nollavektoriksi pohjois- ja
etelänavalla, eli kulman arvoilla \(\varphi =0\) ja \(\varphi=\pi\). Tämä ei ole
määritelmän kannalta ongelmallista, koska kyseessä on parametrialueen reuna. Toisaalta
pallolla on myös näissä pisteissä hyvin määritelty yksikkönormaali (radiaalinen yksikkövektori).
Tämä onkin hyvä esimerkki seuraavasta periaatteesta: Jos parametrisointi käyttäytyy joissakin
kohdissa ”huonosti”, ei se tarkoita sitä, että itse pinnalla olisi vastaavissa kohdissa
jotakin ongelmallista.
Näiden intuitiivisten tarkastelujen perusteella asetetaan seuraava määritelmä.
Tarkasti ottaen pinta-ala on aikaisemmin määritelty vain tason
osajoukoille. Yllä siis määritellään (Sekä kaarenpituuden että
pinta-alan yleisempi määrittely ilman integraaleja on mahdollista, mutta se ei kuulu
tälle kurssille.) ensimmäisen kerran,
mitä kaareutuvan pinnan pinta-alalla tarkoitetaan. Vaikka \(R\)-säteisen
pallon ”pinta-alan”kaava \(A=4\pi R^2\) on saattanut esiintyä jo aikaisemmilla
kursseilla, on se loogisesti hieman kyseenalaista: emme voi ”laskea”pinta-alaa
ennen kuin pinta-alalla on määritelmä! Yksi mahdollisuus tämän ongelman välttämiseksi
on asettaa pinta-alan määritelmä ensin pelkille pyörähdyskappaleille; vrt. esimerkki 1.8.
Funktion pintaintegraalin määritelmää voidaan perustella esimerkiksi
approksimoimalla pinnan massaa, kun sen pintatiheys (funktio \(f\), yksikkönä kg/m\(^2\))
vaihtelee. Idea on hyvin samanlainen kuin skalaarikentän viivaintegraalin
yhteydessä on esitetty. Toinen konkreettinen tulkinta on esimerkiksi
Maapallon pinnan keskilämpötilan laskeminen pintaintegraalin avulla
(jos lämpötila olisi annettu jonkin lausekkeen avulla; vrt. esimerkki 1.7).
Tarkasti ottaen täytyy vielä vaatia, että reunan
\(\partial \Omega\) ja sen kuvajoukon
\(\mathbf{r}[\partial \Omega]\) pituus on äärellinen. Tällöin niiden pinta-ala on nolla,
eikä niillä ole vaikutusta integraalien arvoon. Käytännön tilanteissa nämä joukot
ovat (ainakin paloittain) sileitä käyriä, eikä mitään ongelmia esiinny. Lisäksi
voidaan osoittaa, että pintaintegraalin määritelmä riippuu (tietyin luonnollisin
rajoituksin) vain pinnasta \(P\) eikä parametrisoinnin valinnasta.
Kahden muuttujan funktion \(g\) kuvapinnalle
\[P\colon z= g(x,y), \ (x,y)\in \Omega\subset {\bf R}^2,\]
on
\[{\bf N}=-g_x{\bf i}-g_y{\bf j}+{\bf k}\ \text{ ja } \ \|{\bf N}\|=\sqrt{1+g_x^2+g_y^2},\]
kuten jo aikaisemmin nähtiin. Näin ollen
\[\iint_P f(x,y,z) \ dS = \iint_{\Omega} f(x,y,g(x,y)) \sqrt{1+g_x^2+g_y^2}\, dA.\]
Erityisesti kuvapinnan pinta-ala on muotoa
\[\iint_P 1 \ dS = \iint_{\Omega} \sqrt{1+g_x^2+g_y^2}\, dA.\]
Esimerkki 5.5.4
Laske Coloradon osavaltion pinta-ala.
Piilota/näytä ratkaisu
Coloradon määritelmä on
\[\begin{split}\begin{cases}
102^{\circ}\, 02'\, 48'' \text{ W}\le \text{pituusaste}\le 109^{\circ}\, 02'\, 48'' \text{ W},&\\
37^{\circ} \text{ N}\le \text{leveysaste}\le 41^{\circ} \text{ N}.&\\
\end{cases}\end{split}\]
Pallokoordinaatiston kulmalle \(\varphi\) rajat ovat muotoa
\[37^{\circ} \le 90^{\circ}-\varphi\le 41^{\circ}
\Leftrightarrow 49^{\circ} \le \varphi\le 53^{\circ}.\]
ja vaakasuoran kiertosymmetrian vuoksi voidaan valita \(0^{\circ}\le \theta \le 7^{\circ}\).
Yleisillä rajoilla pinta-alaksi saadaan
\[A= \int_{\theta_1}^{\theta_2}\int_{\varphi_1}^{\varphi_2}R^2\sin\varphi \, d\varphi\, d\theta
=R^2 \int_{\theta_1}^{\theta_2} d\theta \, \int_{\varphi_1}^{\varphi_2}\sin\varphi \, d\varphi
= R^2(\theta_2-\theta_1)(\cos \varphi_1 -\cos \varphi_2).\]
Sijoittamalla kulmien arvot (\(\theta\) radiaaneissa!) ja sopiva säteen arvo saadaan
Coloradon pinta-alaksi
\[A=R^2\cdot\frac{7}{360}\cdot 2\pi\cdot (\cos 49^{\circ} -\cos 53^{\circ})\approx \text{269 754 km}^2.\]
Huomautus 5.5.5
Yleisestä kaavasta voidaan myös tarkistaa, että koko \(R\)-säteisen pallon pinta-ala
on
\[A=R^2(2\pi-0)(\cos 0-\cos \pi) = 4\pi R^2,\]
joka on aikaisemmin (?) laskettu pyörähdyskappaleen pinta-alakaavaa käyttämällä.
Myös pallokalotin (spherical cap) pinta-alan kaava saadaan tästä erikoistapauksena. Asetetaan
kalotin keskipiste pohjoisnavalle, ja olkoon sen korkeus \(0\le h\le 2R\). Sen pinta-alaksi
saadaan
\[A= R^2\cdot 2\pi (\cos 0-\cos\varphi (h)) = 2\pi R^2(1-\cos \varphi (h)) = 2\pi R h,\]
sillä kalotin eteläreunalla \(\varphi = \varphi (h)\) pätee \(R-h=R\cos \varphi\).
Esimerkki 5.5.6
Määritä pyörähdysparaboloidista \(z=1-x^2-y^2\) sylinterin \(x^2+y^2\le 1\) sisään
jäävän pinnan \(P\) pinta-ala ja keskiön koordinaatit.
Kyseessä on funktion \(f(x,y)=1-x^2-y^2\) kuvapinta, joten normaaliksi
voidaan valita
\[\mathbf{N} =-f_x\, \bi-f_y\,\bj+\bk = 2x\,\bi+2y\,\bj+\bk,\]
jonka avulla saadaan pinta-alan suurennussuhde \(\| \mathbf{N}\|= \sqrt{1+4x^2+4y^2}\).
Pinta-ala on tämän lausekkeen integraali yksikköympyrässä \(D\), ja se kannattaa
laskea napakoordinaattien avulla:
\[A= \iint_D \sqrt{1+4x^2+4y^2}\, dA = \int_0^{2\pi}\int_0^1 \sqrt{1+4r^2}\, r\, dr\, d\theta
= \frac{\pi}{6}(5\sqrt{5}-1).\]
Symmetrian perusteella \(\overline{x}=\overline{y}=0\). Keskiön \(z\)-koordinaattia varten
lasketaan funktion \((x,y,z)\mapsto z\) integraali pinnalla \(P\):
\[\begin{split}\begin{array}{rcl}
I &=& \iint_P z\, dS = \iint_D (1-x^2-y^2)\sqrt{1+4x^2+4y^2}\, dA\nonumber\\
&=& \int_0^{2\pi}\int_0^1 (1-r^2)\sqrt{1+4r^2}\, r\, dr\, d\theta
= \frac{\pi}{60}(25\sqrt{5}-11).\nonumber
\end{array}\end{split}\]
Näin ollen
\[\overline{z}=\frac{I}{A}\approx 0{,}44.\]
Esimerkki 5.5.7
Oletetaan, että Maan pintalämpötila on pallokoordinaatiston kulmien avulla
\[T(\varphi,\theta) = -30 + 60\sin\varphi,\]
yksikkönä celsiusaste. Laske lämpötila navoilla ja päiväntasaajalla (joissa ei tarvita integraaleja!)
sekä keskilämpötila (mean temperature)
\[\overline{T}=\frac{1}{A}\iint_{S(R)}T\, dS.\]
Tässä \(S(R) = S(\overline{0},R)=\) \(R\)-säteisen origokeskisen pallon pinta
(standardimerkintä, \(S\) = sphere).
Seuraavan esimerkin kaava johdetaan yleensä yhden muuttujan funktioiden
integraalilaskennan yhteydessä, mutta se saadaan myös pintaintegraalin
erikoistapauksena.
Esimerkki 5.5.8
Käyrä \(y=f(z)\), \(a\le z\le b\), pyörähtää \(z\)-akselin ympäri. Johda
tämän pyörähdyspinnan (surface of revolution) pinta-alan kaava
\[A=2\pi\int_a^b |f(z)|\sqrt{1+f'(z)^2}\, dz.\]
Piilota/näytä ratkaisu
Pinnan yhtälö on sylinterikoordinaattien avulla lausuttuna
\(r_{\perp}=f(z)\), joten se voidaan parametrisoida muodossa
\[\br (\theta,z) = (f(z)\cos\theta,f(z)\sin\theta, z),\]
kun \(0\le \theta\le 2\pi\) ja \(a\le z\le b\).
Tällöin
\[\br_\theta = -f(z)\sin\theta\, \bi+f(z)\cos\theta\,\bj\]
ja
\[\br_z = f'(z)\cos\theta\, \bi+f'(z)\sin\theta\,\bj+\bk,\]
joten
\[\begin{split}\mathbf{N} = \mathbf{r}_{\theta}\times \mathbf{r}_{z}
=\left|
\begin{matrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} &\mathbf{k} \\
-f(z)\sin\theta\ & f(z)\cos\theta & 0\\
f'(z)\cos\theta & f'(z)\sin\theta & 1\\
\end{matrix}
\right|
= f(z)\cos\theta\, \bi+f(z)\sin\theta\,\bj-f(z)f'(z)\,\bk.\end{split}\]
Näin ollen
\[\|\mathbf{N}\| = \sqrt{f(z)^2\cos^2\theta+ f(z)^2\sin^2\theta+f(z)^2f'(z)^2}
= |f(z)|\sqrt{1+f'(z)^2}.\]
Väite seuraa tästä, koska integraali kulman \(\theta\) suhteen on \(2\pi\).
Esimerkki 5.5.9
Määritä esimerkin 5.4.5 tason \(z=1\) pinta-alkio \(dS\)
muuttujien \(x\) ja \(y\) avulla lausuttuna;
pallokoordinaattikulmien avulla lausuttuna.
Piilota/näytä ratkaisu
Harjoitustehtävä.
Vihje: Kaava \(D \tan x = 1/\cos^2 x\) toimii kohdassa (ii) paremmin kuin toinen vaihtoehto.
Vast: \(\sin\varphi/\cos^3\varphi\, d\varphi\, d\theta\).