\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\oiint}{\unicode{x222F}}\]

Vektorikentän viivaintegraali¶

Skalaarikenttien jälkeen siirrytään vektorikenttiin, (vector field) joita ovat mm. erilaiset nopeuskentät, sähkökentän voimakkuuus ja magneettivuon tiheys. Yleisesti vektorikentällä tarkoitetaan vektoriarvoista funktiota \({\bf F}\colon A\to \R^k\), kun \(A\subset \R^n\) ja \(n,k\ge 2\). Jokaisella \(\br \in A\) vektorikentän arvo \({\bf F} (\br)\in \R^k\), joten se voidaan kirjoittaa muodossa

\[{\bf F} (\br)=F_1(\br){\bf e}_1 +\dots +F_k(\br){\bf e}_k\]

luonnollisen kannan yksikkövektoreiden avulla. Funktiot \(F_i: A\to \R\) ovat \(n\):n muuttujan funktioita ja niitä kutsutaan vektorikentän (coordinate function) \({\bf F}\) koordinaattifunktioiksi. Käytännön sovellusten kannalta tärkein tapaus on \(n=k=3\), jolloin

\[{\bf F} (\br)=F_1(\br)\bi +F_2(\br)\bj +F_3(\br)\bk\]

ja \(\br =(x,y,z)\). Käytännön sovelluksissa paikkakoordinaattien lisäksi on usein mukana myös aikamuuttuja \(t\), jolloin \({\bf F}={\bf F}(\mathbf{r},t)=\mathbf{F}(x,y,z,t)\).

Esimerkki 3.3.1

Tason vektorikentän \({\bf F}(x,y)=(x+y)\bi +xy\bj\) koordinaattifunktiot ovat \(F_1(x,y)=x+y\) ja \(F_2(x,y)=xy\). Kentän arvoja ovat esim. \({\bf F}(-1,2)=\bi-2\bj\) ja \({\bf F}(1,1)=2\bi+\bj\).

Kenttäviivat¶

Tarkastellaan esimerkkinä vektorikenttää \(\mathbf{F}\colon \mathbf{R}^n\to\mathbf{R}^n\). Vektorikentän (integral curve) integraalikäyrät ovat differentiaaliyhtälöryhmän

\[\begin{split} \mathbf{r}'(t) =\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \overset{n=2}{\Longleftrightarrow} \begin{cases} x'(t)=F_1(x(t),y(t)) & \\ y'(t)=F_2(x(t),y(t)) \end{cases}\end{split}\]

ratkaisujen muodostamia parametrisoituja käyriä. Jos vektorikentällä \(\mathbf{F}\) ei ole nollakohtia ja se (eli sen koordinaattifunktiot) on jatkuvasti derivoituva, niin DY-ryhmien yleisestä teoriasta seuraa, että jokaisen avaruuden pisteen kautta kulkee täsmälleen yksi integraalikäyrä. Integraalikäyrät eivät voi leikata toisiaan tai haarautua useampaan osaan, eivätkä ne voi ”loppua kesken”vaan jatkuvat ”äärettömyyteen”.

Vektorikentän kenttäviivoilla (field line) tarkoitetaan käyriä, joiden tangenttien suunta määräytyy vektorikentästä, mutta ”nopeus”voi olla erilainen (Joissakin kirjoissa ei tehdä eroa integraalikäyrän ja kenttäviivan välillä, jolloin molemmat termit tarkoittavat jälkimmäistä).Tätä voidaan kuvata DY-ryhmällä

\[\mathbf{r}'(t) =\lambda(t) \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)),\]

jossa \(\lambda(t)>0\) on jokin kerroinfunktio. Tason vektorikentän kenttäviivat saadaan yhtälöparista

\[\begin{split}\begin{cases} x'(t) =\lambda(t) F_1(x(t),y(t)),&\\ y'(t) =\lambda(t) F_2(x(t),y(t)),&\\ \end{cases}\end{split}\]

josta voidaan puolittain jakamalla elimoinoida tuntematon kerroinfunktio \(\lambda(t)\) ja tulkinnoilla \(x'(t)=dx/dt\), \(y'(t)=dy/dt\) johtaa kenttäviivoille parametrista \(t\) riippumaton DY

(1)¶\[\frac{dx/dt}{dy/dt} =\frac{F_1(x,y)}{F_2(x,y)} \Leftrightarrow \frac{dx}{F_1(x,y)} =\frac{dy}{F_2(x,y)}.\]

Välivaiheita voi verrata separoituvan differetiaaliyhtälön käsittelyyn, mutta alla on esitetty myös täsmällinen perustelu. Kerroin \(\lambda (t)\) on mukana päättelyssä sen vuoksi, että tämä menetelmä ei voi johtaa integraalikäyrän yhtälöön (koska \(t\) katoaa).

Differentiaaliyhtälöstä (1) voidaan joissakin tapauksissa ratkaista kenttäviivojen yhtälöt implisiittisessä muodossa \(g(x,y)=0\) tai jopa eksplisiittisesti muodossa \(y=y(x)\) tai \(x=x(y)\). Pelkkien kenttäviivojen määritäminen on paljon helpompaa kuin integraalikäyrien laskeminen, koska parametrin \(t\) vaikutus ei näy kenttäviivoissa.

Esimerkki 3.3.2

Tason vektorikentän \(\mathbf{F}(x,y)= xy\mathbf{i}-x\mathbf{j}\) kenttäviivoille pätee yllä olevan perusteella

\[\frac{dx}{xy}=\frac{dy}{-x} \Leftrightarrow \frac{dx}{dy} = -y \Leftrightarrow x= -\frac{1}{2}y^2 + C,\ C\in\mathbf{R}.\]

Yllä tulkittiin \(x=x(y)\) ja \(\frac{dx}{dy}=x'(y)\), jolloin yhtälö voidaan integroida muuttujan \(y\) suhteen ilman mitään differentiaaliyhtälöitä; tämä onnistuu tietysti vain erikoistapauksissa. Kenttäviivat ovat siis vasemmalle aukeavia paraabeleja.

Oheislukemista: Tarkempi perustelu ”integraalikäyrä \(\Rightarrow\) kenttäviiva”.

Tarkassa perustelussa ei voi käyttää merkintöjä \(x=x(t)\), \(y=y(t)\), koska yhtälöiden vasemmalla puolella \(x\) ja \(y\) ovat koordinaatteja, mutta oikealla puolella funktioita.

Olkoon siis \(\mathbf{F}\colon \mathbf{R}^2\to \mathbf{R}^2\) vektorikenttä, jolla on integraalikäyrä \(\mathbf{r}(t)=(X(t),Y(t))\). Osoitetaan, että tietyillä oletuksilla ja merkinnöillä \(x=X(t)\), \(y=Y(t)\) on voimassa

\[y'(x)=\frac{F_2(x,y)}{F_1(x,y)},\]

jonka mukaan tason pisteen \((x,y)\) kautta kulkevan integraalikäyrän tangentin kulmakerroin voidaan laskea oikean puolen osamäärän avulla. Tulkinnalla \(y'(x)=dy/dx\) tästä saadaan yllä mainittu kenttäviivan (symbolinen) esitys

\[\frac{dx}{F_1(x,y)}=\frac{dy}{F_2(x,y)}.\]

Integraalikäyrän määritelmän mukaan

\[\begin{split}\begin{cases} X'(t)=F_1(X(t),Y(t)) &\\ Y'(t)=F_2(X(t),Y(t)). & \\ \end{cases}\end{split}\]

Oletetaan, että yhtälöstä \(x=X(t)\) voidaan ratkaista (lokaalisti) yksikäsitteisellä tavalla \(t=X^{-1}(x)\), jolloin yhtälöstä \(y=Y(t)\) saadaan funktio \(y=Y(X^{-1}(x))\), ts. parametri \(t\) voidaan eliminoida ja integraalikäyrä on (lokaalisti) funktion kuvaaja. Yhdistetyn funktion derivaattakaavan perusteella

\[\begin{split}\begin{array}{rcl} y'(x)&=&Y'(X^{-1}(x))(X^{-1})'(x) =\frac{Y'(t)}{X'(X^{-1}(x))}= \frac{Y'(t)}{X'(t)} = \frac{F_2(X(t),Y(t))}{F_1(X(t),Y(t))}\nonumber \\ &= &\frac{F_2(x,y)}{F_1(x,y)}.\nonumber \end{array}\end{split}\]

Tässä käytettiin myös (yhden muuttujan funktion) käänteisfunktion derivaattakaavaa

\[(f^{-1})'(z)=\frac{1}{f'(f^{-1}(z))}.\]

Oletus \(t=X^{-1}(x)\) liittyy differentiaaliryhmien ratkaisujen teoriaan: Voidaan osoittaa, että jatkuvasti derivoituvan vektorikentän \(\mathbf{F}(x,y)\neq \overline{0}\) tapauksessa integraalikäyrästä voidaan ainakin lokaalisti ratkaista joko \(t=X^{-1}(x)\) tai \(t=Y^{-1}(y)\), ja jälkimmäisessä tapauksessa päättely on samanlainen kuin yllä, kun muuttujien \(x\) ja \(y\) roolit vaihdetaan keskenään.

Esimerkki 3.3.3

(Oheislukemista) Integraalikäyrien määrittämiseen tarvitaan differentiaaliyhtälöryhmien ratkaisumenetelmiä. Lasketaan esimerkkinä vektorikentän \(\mathbf{F}(x,y)=y\,\mathbf{i}+x\,\mathbf{j}\) integraalikäyrät. Niille on voimassa

\[\begin{split}\begin{cases} x'(t) =F_1(x(t),y(t))=y(t)&\\ y'(t) =F_2(x(t),y(t))=x(t).&\\ \end{cases}\end{split}\]

Derivoidaan ensimmäinen yhtälö puolittain, jolloin saadaan

\[x''(t)=y'(t)=x(t)\]

toisen yhtälön perusteella. Näin ollen \(x''(t)-x(t)=0\), jonka karakteristinen yhtälö on \(\lambda^2-1=0\). Sen ratkaisut ovat \(\lambda=\pm 1\), joten differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on muotoa \(x(t)=C_1e^t+C_2e^{-t}\), kun \(C_1,C_2\in\R\) ovat vakioita. Tällöin ensimmäisen yhtälön perusteella \(y(t)=x'(t)= C_1e^t-C_2e^{-t}\). Kaikki integraalikäyrät ovat siis muotoa

\[\mathbf{r}(t)= (C_1e^t+C_2e^{-t}, C_1e^t-C_2e^{-t}),\]

kun \(C_1,C_2\in\R\). Pelkät kenttäviivat voidaan ratkaista yhtälöstä \(dx/y=dy/x\), josta saadaan \(y\, dy =x\, dx\) ja edelleen \(y^2=x^2+C\). Kenttäviivat ovat siis hyperbelin kaaria \(x^2-y^2=\) vakio.

Viivaintegraalit¶

Tarkoituksena on seuraavaksi määritellä vektorikentän viivaintegraali (line integral) käyrää pitkin. Tulosta voidaan motivoida ajattelemalla voiman tekemää työtä, kun kappale liikkuu sen vaikutuksesta annettua käyrää pikin. Tutkitaan asiaa seuraavassa esimerkissä.

Esimerkki 3.3.4

(i) Kappale liikkuu vaakasuoralla alustalla vaakasuoran vakiovoiman \(\mathbf{F}\) vaikutuksesta, jolloin kappaleen siirtymä on \(\Delta \br\). Fysiikan tietojen perusteella voiman tekemä työ on muotoa

\[W = \| \mathbf{F}\| \|\Delta \br\| = \mathbf{F}\cdot \Delta\br,\]

koska voima ja siirtymä ovat yhdensuuntaisia.

(ii) Kappale liikkuu vaakasuoralla alustalla yläviistoon vaikuttavan vakiovoiman \(\mathbf{F}\) vaikutuksesta, jolloin kappaleen siirtymä on \(\Delta \br\). Fysiikan tietojen perusteella voiman tekemään työhön vaikuttaa vain voiman vaakasuora komponentti \(\| \mathbf{F}\|\cos \alpha\).

Voiman tekemä työ on siis

\[W = (\| \mathbf{F}\| \cos \alpha) \|\Delta \br\| = \| \mathbf{F}\| \|\Delta \br\|\cos \alpha = \mathbf{F}\cdot \Delta \br\]

pistetulon ominaisuuksien perusteella. Samaan tulokseen päädytään kaikkien vakiovoimien tapauksessa, kunhan siirtymä tapahtuu janaa pitkin.

(iii) Kappale liikkuu pitkin parametrisoitua käyrää \(C\colon \br =\br (t)\), \(a\le t\le b\), ja siihen vaikuttaa käyrän pisteessä \(\br (t)\) voima \(\mathbf{F}(\br (t))\). Voiman tekemää työtä voidaan approksimoida jakamalla parametriväli tasavälisesti jakopisteillä \(a=t_0< t_1< \dots < t_n=b\), joille \(\Delta t=(b-a)/n\). Vastaavat siirtymävektorit ovat silloin muotoa

\[\Delta \br_k = \br (t_k)-\br (t_{k-1})\approx \br'(t_{k-1}) \Delta t,\ k=1,\dots, n.\]

Jokaisella tällaisella osalla voiman tekemää työtä voidaan arvioida muodossa

\[\mathbf{F}(\br (t_{k-1}))\cdot \Delta \br_k \approx \mathbf{F}(\br (t_{k-1}))\cdot \br'(t_{k-1}) \Delta t.\]

Yhteensä voiman tekemä työ on siis suunnilleen

\[W\approx \sum_{k=1}^n (\mathbf{F}(\br (t_{k-1}))\cdot \br'(t_{k-1})) \Delta t \to \int_a^b {\bf F}(\br(t))\cdot \br'(t)\, dt,\]

kun \(n\to\infty\). Tämä johtuu siitä, että integroitava funktio on se lauseke, johon approksimoivassa summassa sijoitetaan jakopisteet, ja joka kerrotaan sen jälkeen jakovälin pituudella \(\Delta t\).

Tämän perusteella asetetaan seuraava määritelmä.

Määritelmä 3.3.5

Olkoon \(C\subset \R^n\) käyrä, jolla on paloittain jatkuvasti derivoituva parametrisointi \(\br=\br(t)\), \(t\in [a,b]\). Vektorikentän \({\bf F}\colon C\to \R^n\) viivaintegraali käyrää \(C\) pitkin on

\[\int_C {\bf F}\cdot {\bf dr} = \int_a^b {\bf F}(\br(t))\cdot \br'(t)\, dt.\]

Esimerkiksi kaksiulotteisessa tapauksessa on \(\br'(t)=x'(t)\bi+y'(t)\bj\), joten

\[\begin{split}\begin{aligned} \mathbf{F}(\br(t))\cdot \br'(t) &= (F_1(\br(t))\bi +F_2(\br(t))\bj)\cdot (x'(t)\bi+y'(t)\bj)\\ &=F_1(\br(t))x'(t)+F_2(\br(t))y'(t),\end{aligned}\end{split}\]

ja integraaliksi saadaan

\[\int_a^b {\bf F}(\br(t))\cdot \br'(t)\, dt = \int_a^b (F_1(\br(t))x'(t)+F_2(\br(t))y'(t)) \, dt.\]

Jälkimmäinen muoto johtaa tulkinnoilla \(dx=x'(t)\, dt,\ dy=y'(t)\, dt\) viivaintegraalin vaihtoehtoiseen merkintään

\[\int_C {\bf F}\cdot {\bf dr} = \int_C F_1\, dx +F_2 \, dy,\]

jossa koordinaattifunktiot ovat suoraan näkyvillä. Kolmiulotteisessa tapauksessa mukaan tulee vielä termi \(F_3\, dz\). Perinteisistä syistä kaavassa ei ole tapana käyttää sulkuja. Tämä muoto on käytännön laskuissa lyhyempi, koska välivaiheisiin ei tarvitse kirjoittaa vektoreita eikä pistetuloja.

Varoitus: Jälkimmäistä merkintää ei pidä sekoittaa siihen, että esimerkiksi funktiota \(F_1\) integroidaan muuttujan \(x\) suhteen; ts.

\[\int_C F_1\, dx \neq \int F_1\, dx.\]

Ainoastaan silloin, kun käyrä \(C\) kulkee vaakasuoraan pisteestä \((a,y_0)\) pisteeseen \((b,y_0)\), on voimassa

\[\int_C F_1 \, dx = \int_{a}^{b} F_1(x,y_0)\, dx = G(b,y_0)- G(a,y_0),\]

jos \(G(x,y_0)\) on funktion \(F_1(x,y_0)\) integraalifunktio muuttujan \(x\) suhteen, eli \(G_x(x,y_0)=F_1(x,y_0)\). Syy: Vaakasuoran janan parametrisoinnissa on \(x=t\), joten \(dx=dt\).

Ominaisuuksia:

Skalaarikentän viivaintegraalia koskevat huomautukset voidaan toistaa vektorikentän viivaintegraalille yhtä lukuunottamatta. Jos nimittäin käyrän \(C\) parametrisoinnin suunta vaihdetaan vastakkaiseksi, niin vektorikentän viivaintegraalin arvo vaihtaa merkkiä, kun taas vastaavalla toimenpiteellä ei ole vaikutusta skalaarikenttien viivaintegraaleihin.

\[\int_{C_-} {\bf F}\cdot {\bf dr} =- \int_{C} {\bf F}\cdot {\bf dr} .\]

Tämä ilmiö on helppo ymmärtää sen vuoksi, että vastakkaiselle parametrisoinnille \(\br_-\) tangenttivektori \(\br_-'(t)\) on kussakin käyrän pisteessä vastakkaissuuntainen alkuperäiseen verrattuna, ja tämä vaihtaa integroitavan funktion etumerkin. Skalaarikentän tapauksessa etumerkki ei muutu lausekkeen \(\|\br_-'(t)\|\) vuoksi. Vektorikentän viivaintegraalia laskettaessa on siis tunnettava myös käyrän positiivinen suunta, joka ei näy integraalin merkinnässä. Tarkempi perustelu muuttujanvaihdon \(u=1-t\) avulla harjoitustehtävänä.
Jos integraali lasketaan umpinaista käyrää pitkin, sille käytetään myös merkintää

\[\oint _C {\bf F}\cdot {\bf dr},\]

mutta tämä ei vaikuta laskuihin millään tavalla.
Integroitava lauseke voidaan kirjoittaa myös yksikkötangentin \(\mathbf{u}(t)= \frac{\mathbf{r}'(t)}{\| \mathbf{r}'(t) \|}\) avulla muodossa

\[\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot {\bf r}'(t)\, dt = \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot {\bf u}(t)\underbrace{\| {\bf r}'(t)\| \, dt}_{=ds} = F_T (\mathbf{r}(t))\, ds,\]

jossa \(F_T= \mathbf{F}\cdot \mathbf{u}\) on vektorikentän \(\mathbf{F}\) tangenttikomponentti. Näin vektorikentän viivaintegraali voidaan tulkita myös skalaarikentän (= tangenttikomponentti) viivaintegraalina. (Tapaus \(\mathbf{r}'(t)=\overline{0}\) täytyy tutkia erikseen, mutta tällaiset osat eivät vaikuta integraalin arvoon.)

Esimerkki 3.3.6

Laske viivaintegraali

\[\oint_C {\bf F}\cdot {\bf dr} ,\]

kun \({\bf F}(x,y)=-y\bi+x\bj\) ja käyrä \(C\) on yksikköympyrä positiiviseen suuntaan kierrettynä.

Piilota/näytä ratkaisu

Käytetään laskussa viivaintegraalin jälkimmäistä muotoa

\[\oint_C -y\, dx+x\, dy.\]

Parametrisointi on muotoa \(x=\cos t,\ y=\sin t\), \(t\in [0,2\pi]\), joten \(dx=-\sin t \, dt\) ja \(dy=\cos t\, dt\). Integraaliksi saadaan siis

\[\oint_C -y\, dx+x\, dy = \int_0^{2\pi}((-\sin t)\cdot (-\sin t)+\cos t\cdot \cos t)\, dt =\int_0^{2\pi}1\, dt = 2\pi.\]

Pistetulomuodossa lasketaan ensin

\[{\bf F}(\br(t))\cdot \br'(t) = (-\sin t\, \bi+\cos t\, \bj)\cdot (-\sin t\, \bi+\cos t\, \bj) =1,\]

josta integraali saadaan samalla tavalla.

Gradienttikentät ja potentiaali¶

Johdattelevana esimerkkinä käsitellään hieman hankalampaa tilannetta, jossa integrointi täytyy tehdä kahdessa osassa.

Esimerkki 3.3.7

Laske viivaintegraali

\[\oint_C {\bf F}\cdot {\bf dr} ,\]

kun \({\bf F}(x,y)=x^2\bi+y^2\bj\) ja käyrä \(C\) koostuu osakäyrista

\[C_1=\{ (x,\sin \pi x)\in \mathbf{R}^2 \mid 0\le x\le 1\}\]

ja \(C_2=[(0,0),(1,0)]\) (= pisteiden \((0,0)\) ja \((1,0)\) yhdysjana) myötäpäivään kierrettynä.

Piilota/näytä ratkaisu

Nyt

\[\oint_C {\bf F}\cdot {\bf dr} = \int_{C_1} {\bf F}\cdot {\bf dr}+\int_{C_2} {\bf F}\cdot {\bf dr},\]

jotka on laskettava erikseen.

Käyrällä \(C_1\) on parametrisointi \(x=t,\ y=\sin (\pi t)\), \(t\in [0,1]\), jolloin \(dx=dt\) ja \(dy=\pi\cos (\pi t)\, dt\). Integraaliksi saadaan siis

\[\begin{split}\begin{array}{rcl} \int_{C_1} {\bf F}\cdot {\bf dr}&=&\int_{C_1} x^2\, dx+y^2\, dy = \int_0^1(t^2\cdot 1+\sin^2(\pi t)\cdot \pi \cos(\pi t))\, dt \nonumber \\ &=&\bigg/_{\!\!\!\!\! 0}^1\left(\frac{1}{3}t^3+\frac{1}{3}\sin^3(\pi t)\right) =\frac{1}{3}. \end{array}\end{split}\]

Käyrä \(C_2\) on hieman helpompi parametrisoida vastakkaiseen suuntaan siten, että \((0,0)\) on alkupiste ja \((1,0)\) päätepiste. Tällöin \(x=t,\ y=0\) ja \(t\in [0,1]\), joten \(dx=dt\) ja \(dy=0\). Integraaliksi saadaan

\[\int_0^1 t^2\cdot 1\, dt =\frac{1}{3},\]

joten positiiviseen suuntaan tulos on

\[\int_{C_2} x^2\, dx+y^2\, dy =- \frac{1}{3}.\]

Yhteensä saadaan siis

\[\oint_{C} x^2\, dx+y^2\, dy = \frac{1}{3}-\frac{1}{3}=0.\]

Yllä olevan esimerkin tulos ei ole sattuma, vaan itse asiassa kyseessä olevan vektorikentän viivaintegraali kaikkia umpinaisia käyriä pitkin on nolla. Jos nimittäin \(\br=\br(t)\) on umpinaisen tasokäyrän \(C\) paloittain jatkuvasti derivoituva parametrisointi välillä \([a,b]\), niin \(x(a)=x(b)\) ja \(y(a)=y(b)\). Tällöin

\[\oint_C x^2\, dx+y^2\, dy = \int_a^b (x(t)^2x'(t)+y(t)^2y'(t))\, dt = \bigg/_{\!\!\!\!\! a}^b \frac{1}{3}(x(t)^3+y(t)^3) = 0,\]

sillä sijoitus ylä- ja alarajoilla antaa umpinaiselle käyrälle saman tuloksen. Tämä ominaisuus on vain joillakin vektorikentillä, ja niitä kutsutaan konservatiivisiksi. Termin taustalla on jälleen fysikaalinen tulkinta, joka liittyy siihen, että konservatiivisen voimakentän tekemä työ riippuu vain kappaleen alku- ja päätepisteestä, muttei siitä, mitä reittiä kappale on kulkenut. Tämä liittyy myös seuraaviin tuloksiin.

Määritelmä 3.3.8

Olkoon \(D\subset {\bf R}^n\) avoin. Jokaista derivoituvaa skalaarikenttää \(u \colon D\to\R\) vastaa vektorikenttä \({\bf F}=\nabla u \colon D\to\R^n\). Tällä tavalla muodostettuja vektorikenttiä \({\bf F}\) kutsutaan gradienttikentiksi (Termi ”eksakti vektorikenttä”tarkoittaa myös samaa asiaa), ja vastaava skalaarikenttä \(u\) on vektorikentän \({\bf F}\) potentiaali (Potentiaali = skalaaripotentiaali; joillakin vektorikentillä on myös vektoripotentiaaleja, joista myöhemmin lisää).

Huomaa, että tilannetta voidaan tarkastella molempiin suuntiin:

”Helppo”suunta: Määritellään jokin skalaarikenttä \(u\) ja lasketaan siitä vektorikenttä \({\bf F}=\nabla u\).
”Hankala”suunta: Määritellään jokin vektorikenttä \(\mathbf{F}\) ja yritetään keksiä sille potentiaali \(u\), jolle \(\nabla u=\mathbf{F}\).

Palaamme jälkimmäiseen kysymykseen myöhemmin.

Esimerkki 3.3.9

Homogeenisella painovoimakentällä \({\bf F}(x,y,z)=-mg\bk\) on potentiaali \(u(x,y,z)=-mgz\). Miinus-merkin eliminoimiseksi potentiaalienergia \(U\) määritellään fysiikassa yhtälön \({\bf F}=-\nabla U\) avulla, mutta termien potentiaali ja potentiaalienergia merkitys saattaa hieman vaihdella.

Gradienttikenttien tärkein ominaisuus on konservatiivisuus.

Lause 3.3.10

Jos vektorikentällä \({\bf F}\) on potentiaali \(u\) ja käyrällä \(C\) on paloittain jatkuvasti derivoituva parametrisointi \(\br \colon [a,b]\to C\), niin

\[\int_C {\bf F} \cdot {\bf dr} = u ({\bf r}(b))- u ({\bf r}(a)).\]

Tällöin viivaintegraalin arvo riippuu vain päätepisteiden sijainnista ja vektorikenttä \({\bf F}\) on konservatiivinen. Erityisesti: Jos \(C\) on umpinainen käyrä, niin viivaintegraalin arvo on nolla.

Perustelu: Jos parametrisointi on jatkuvasti derivoituva, niin ketjusäännön mukaan

\[\begin{split}\begin{array}{rcl} \int_C {\bf F} \cdot {\bf dr} &=& \int_a^b {\bf F}({\bf r}(t))\cdot {\bf r}'(t)\, dt =\int_a^b \nabla u ({\bf r}(t))\cdot {\bf r}'(t)\, dt \nonumber \\ &=& \int_a^b \frac{d}{dt} u ({\bf r}(t))\, dt = \bigg/_{\!\!\!\! a}^b u ({\bf r}(t)) \nonumber \\ &=& u ({\bf r}(b))- u ({\bf r}(a)).\nonumber \end{array}\end{split}\]

Paloittain jatkuvasti derivoituva tapaus palautuu tähän soveltamalla kaavaa jokaiseen palaan erikseen ja laskemalla tulokset yhteen.

Viimeinen huomautus seuraa siitä, että \(u ({\bf r}(b))= u ({\bf r}(a))\) umpinaisen käyrän tapauksessa. \(\Box\)

Konservatiivisuuden määritelmä voidaan esittää monella eri tavalla, kuten lauseessa 1.1 myöhemmin todetaan. Koska lause on (ainakin osittain) oheislukemista, on jo tässä vaiheessa syytä mainita yksinkertaisin yhteys:

Tarkastellaan vektorikentän \({\bf F}\colon D\to\R^n\) viivaintegraaleja alueessa \(D\subset \R^n\) kulkevia käyriä pitkin. Tällöin seuraavat ominaisuudet ovat yhtäpitäviä:
- Vektorikentän viivaintegraalin arvo on nolla jokaista umpinaista käyrää pitkin.
- Vektorikentän viivaintegraali riippuu vain käyrän päätepisteistä; ts. jos kahdella käyrällä on samat alkupisteet ja samat loppupisteet, niin viivaintegraalien arvot ovat samat.

Väitteen perusteluun tarvitaan oikeastaan vain kaksi kuvaa tyypillisestä tilanteesta:

Kahdesta käyrästä \(C_1\) ja \(C_2\), joilla on samat alkupisteet ja samat loppupisteet, voidaan muodostaa umpinainen käyrä \(C\) vaihtamalla toisen käyrän suunta ja kulkemalla käyrät peräkkäin. Vastaavasti umpinainen käyrä voidaan keinotekoisesti katkaista mistä tahansa kohdasta ja esittää kahden peräkkäisen käyrän avulla. Viivaintegraaleja koskevien väitteiden yhtäpitävyys seuraa tällöin yhtälöistä

\[\begin{split}\begin{array}{rcl} 0=\int_{C_1} \mathbf{F}\cdot\mathbf{dr} - \int_{C_2} \mathbf{F}\cdot\mathbf{dr} &=&\int_{C_1} \mathbf{F}\cdot\mathbf{dr} + \int_{C_{2-}} \mathbf{F}\cdot\mathbf{dr}\nonumber\\ &=& \oint_{C} \mathbf{F}\cdot\mathbf{dr} =0 \nonumber \end{array}\end{split}\]

molempiin suuntiin käytettynä.

Potentiaaliehdot:

Skalaaripotentiaali on tietyssä mielessä yhden muuttujan funktion integraalifunktion yleistys. Kaikilla jatkuvilla funktioilla \(f(x)\) on integraalifunktio, mutta kaikilla vektorikentillä ei kuitenkaan ole potentiaalia. Esimerkiksi tapauksessa \(n=2\) vektoriyhtälön \({\bf F}=\nabla u\) koordinaattimuoto on \(F_1=u_x\) ja \(F_2= u_y\), joten täytyy olla

\[\frac{\partial F_1}{\partial y}= \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial F_2}{\partial x},\]

kunhan vain \(u\) on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva. Jos tämä ehto ei ole voimassa, niin vektorikentällä \({\bf F}\) ei voi olla potentiaalia. Yleisessä tapauksessa ehdot tulevat muotoon

(2)¶\[\frac{\partial F_i}{\partial x_j}=\frac{\partial F_j}{\partial x_i}\]

kaikilla \(1\le i,j\le n\).

Esimerkki 3.3.11

Vektorikentällä \({\bf F}(x,y)=xy\bi+(2x-y)\bj\) ei ole potentiaalia, koska

\[\frac{\partial F_1}{\partial y} = x \neq 2 = \frac{\partial F_2}{\partial x}.\]

(Ehto toteutuu suoralla \(x=2\), mutta sen pitäisi olla voimassa kaikissa tason pisteissä.)

Kääntäen voidaan osoittaa (lause 1.1 myöhemmin tässä luvussa), että jos ehdot (2) toteutuvat jollekin vektorikentälle \({\bf F}\) yhdesti yhtenäisessä (Määritelmä kohdassa 1.3. Esimerkiksi rajoitetulle tasoalueelle \(D\) tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että alueen reuna \(\partial D\) on yhtenäinen.) alueessa \(D\), niin \({\bf F}\):llä on potentiaali, ja kyseessä on konservatiivinen vektorikenttä. Potentiaali \(u\) voidaan tällöin ratkaista integroimalla yhtälöryhmä \(\nabla u ={\bf F}\).

Esimerkki 3.3.12

Osoita, että vektorikentällä

\[{\bf F}(x,y,z)=2xz\cos y\bi+(1-x^2z\sin y)\bj+(x^2\cos y -3z^2)\bk\]

on potentiaali, ja määritä se.

Piilota/näytä ratkaisu

Koska

\[\frac{\partial F_1}{\partial y} = \frac{\partial F_2}{\partial x}, \ \frac{\partial F_2}{\partial z} = \frac{\partial F_3}{\partial y}\ \text{ ja }\ \frac{\partial F_3}{\partial x} = \frac{\partial F_1}{\partial z}\]

koko avaruudessa, niin \({\bf F}\):llä on potentiaali. Ratkaistaan potentiaali \(u\) yhtälöryhmästä

\[\begin{split}\begin{cases} u_x=F_1=2xz\cos y&\\ u_y=F_2=1-x^2z\sin y&\\ u_z=F_3=x^2\cos y -3z^2.&\\ \end{cases}\end{split}\]

Tapa 1. Ensimmäisen yhtälön perusteella \(u(x,y,z)=x^2z\cos y+\alpha (y,z)\), missä \(\alpha(y,z)\) on mikä tahansa lauseke (sen osittaisderivaatta \(x\):n suhteen on nolla). Sijoitetaan saatu \(u\):n lauseke toiseen yhtälöön, joilloin saadaan

\[-x^2z\sin y+\alpha_y(y,z)= 1-x^2z\sin y.\]

Täytyy siis olla \(\alpha_y(y,z)= 1\), joten \(\alpha(y,z)=y+\beta(z)\), missä \(\beta(z)\) on mikä tahansa lauseke (sen osittaisderivaatta \(y\):n suhteen on nolla). Pääsemme siis muotoon \(u(x,y,z)=x^2z\cos y+y+\beta(z)\), joka täytyy vielä sijoittaa viimeiseen yhtälöön. Tuloksena on

\[x^2\cos y+\beta'(z)= x^2\cos y -3z^2,\]

joten \(\beta'(z)=-3z^2\) ja edelleen \(\beta(z)=-z^3+C\), missä \(C\) on vakio.

Etsitty potentiaali on siis

\[u(x,y,z)=x^2z\cos y+y-z^3+C.\]
Tapa 2. Jos yllä oleva päättely tuntuu hankalalta, niin voidaan myös integroida (Tässä esiintyvät integraalimerkinnät voivat sekoittua viivaintegraaleihin, mutta kyseessä on kaksi eri asiaa. Merkintä \(\int F_1\, dx\) tarkoittaa funktion \(F_1\) integraalifunktiota muuttujan \(x\) suhteen, eli tietyssä mielessä \(x\)-osittaisderivoinnille käänteistä operaatiota. Viivaintegraali erottuu tästä integraalin alla olevien merkintöjen avulla ja se lasketaan aivan eri tavalla.) kaikki kolme yhtälöä samalla kertaa:

\[\begin{split} \begin{cases} u = \int F_1\, dx =\int 2xz\cos y \, dx = x^2z\cos y +C_1(y,z)&\\ u = \int F_2\, dy =\int (1-x^2z\sin y)\, dy = y+x^2z\cos y +C_2(x,z)&\\ u = \int F_3\, dz=\int (x^2\cos y -3z^2)\, dz = x^2z\cos y-z^3+C_3(x,y).&\\ \end{cases}\end{split}\]

Tästä nähdään, että potentiaali voidaan koota oikean puolen lausekkeista muotoon \(u = x^2z\cos y + y - z^3 + C\), missä \(C\) on vakio.

Potentiaaliin jää aina vapaasti valittava vakio \(C\), koska se ei vaikuta gradientin \(\nabla u\) arvoon: \(\nabla (u+C)=\nabla u\). Vakio voidaan kiinnittää, jos tunnetaan potentiaalin arvo jossakin pisteessä. Käytännössä valitaan yleensä potentiaalin nollakohta, jolloin tuloksena on yksikäsitteinen potentiaali.

Huomautus 3.3.13

Lauseen 1.1 todistuksen kohta (iv) \(\Rightarrow\) (iii) osoittaa, että potentiaali voidaan laskea myös viivaintegraalin avulla, mutta mielestäni tämä tapa ei ole yleensä helpompi kuin yllä esitetyt vaihtoehdot.

Esimerkki 3.3.14

Säteittäisille eli radiaalisille (radial field) kentille (Tässä \(g\) on skalaarikenttä, mutta \(f\) on yhden muuttujan funktio. Usein ei kuitenkaan tehdä suurta eroa niiden välillä, vaan kirjoitetaan \(\nabla f(r)=\dots\), joka on tarkasti ottaen hieman kyseenalainen merkintä.) \(g(\mathbf{r})=f(r)\) on voimassa

\[\nabla g(\mathbf{r}) = f'(r)\frac{{\bf r}}{r}= f'(r)\mathbf{e}_r.\]

Tässä \({\bf r}=x\, {\bf i} +y\, {\bf j} +z\, {\bf k}\), \(r=\|{\bf r}\|= \sqrt{x^2+y^2+z^2}\) ja yksikkövektori \(\mathbf{e}_r=\br/r\) ovat (myöhemmin käsiteltävään) pallokoordinaatistoon liittyviä merkintöjä. Kaava voidaan perustella laskemalla tarvittavat osittaisderivaatat, mutta se seuraa myös yleisemmästä tuloksesta 1.1.

Esimerkiksi säteittäisen painovoimakentän

\[{\bf F}(\mathbf{r})=-\frac{c}{r^3}\, \br=-\frac{c}{r^2}\, \mathbf{e}_r\]

potentiaaliksi voidaan valita \(u (\mathbf{r}) =c/r\) (jolloin kentän potentiaalienergia on muotoa \(-c/r\)).

Greenin kaavan alkeellinen versio¶

Seuraavan esimerkin avulla päädytään tulokseen, jonka mukaan tasoalueen pinta-ala voidaan laskea erään vektorikentän viivaintegraalina alueen reunaa pitkin. Sovelluksena saadaan mm. monikulmion pinta-alalle pelkästään sen kärkipisteistä riippuva kaava.

Otaniemen pinta-ala laskettuna karttapaikka-sivun monikulmio-työkalulla.

Esimerkki 3.3.15

Laske viivaintegraali

\[\int_C x\, dy,\]

kun \(C\) on pisteet \((x_0,y_0)\) ja \((x_1,y_1)\) yhdistävä jana. (Integroitavana on siis vektorikenttä \({\bf F}(x,y)=x\bj\).)

Piilota/näytä ratkaisu

Janalla on parametrisointi

\[\begin{split}\begin{cases} x=(1-t)x_0+tx_1&\\ y=(1-t)y_0+ty_1,&\\ \end{cases}\end{split}\]

kun \(t\in [0,1]\). Tällöin \(dx=(x_1-x_0)\, dt\) ja \(dy=(y_1-y_0)\, dt\), joten

\[\begin{split}\begin{array}{rcl} \int_C x\, dy &=& \int_0^1 ((1-t)x_0+tx_1)\cdot (y_1-y_0)\, dt \\ &=& (y_1-y_0)\int_0^1 ((1-t)x_0+tx_1)\, dt \\ &=& (y_1-y_0)\bigg/_{\!\!\!\! 0}^1((t-t^2/2)x_0+\frac{1}{2}t^2x_1)\\ &=&\frac{1}{2}(x_0+x_1)(y_1-y_0). \end{array}\end{split}\]

Tämän lausekkeen itseisarvo esittää sellaisen puolisuunnikkaan pinta-alaa, jonka rajaavat annettu jana ja suorat \(y=y_0,\ y=y_1\) sekä \(x=0\). Jos yleisemmässä tilanteessa vastaava viivaintegraali lasketaan peräkkäisten pisteiden \((x_0,y_0),(x_1,y_1),\dots,(x_n,y_n),(x_{n+1},y_{n+1})=(x_0,y_0)\) määräämän monikulmion reunaa pitkin positiiviseen kiertosuuntaan eli niin, että monikulmion sisäpuoli jää vasemmalle, on tuloksena monikulmion pinta-alalle kaava

\[A=\frac{1}{2}\sum_{k=0}^n (x_k+x_{k+1})(y_{k+1}-y_k).\]

Tämä voidaan perustella geometrisesti jakamalla tarkasteltava alue suorilla \(y=y_k\) puolisuunnikkaisiin ja soveltamalla niihin esimerkin tulosta. Perustelun idea luennolla.

Käytännössä siis esimerkiksi Suomen pinta-ala voidaan laskea kartalta rajaviivan kärkien koordinaateista ilman, että alue täytyy jakaa kolmioihin tai muihin yksinkertaisiin osiin. Tässä kaavassa ei tosin oteta huomioon Maan pinnan kaarevuutta, mutta sekin voidaan tehdä.

Koska yleisen tasoalueen pinta-ala määritellään approksimoimalla aluetta monikulmioilla yhä tarkemmin, ei ole yllättävää, että tulos on voimassa yleisemminkin.

Lause 3.3.16

Olkoon \(C\) umpinainen ja itseään leikkaamaton tasokäyrä, jolla on paloittain jatkuvasti derivoituva parametrisointi. Tällöin käyrän \(C\) rajaaman tasoalueen pinta-ala on

\[A=\oint_C x\, dy,\]

jos käyrä \(C\) kierretään positiiviseen suuntaan.

Kyseessä on erikoistapaus ns. Greenin tasokaavasta, johon tutustutaan seuraavassa kappaleessa. Vaihtamalla muuttujien roolit ja suorittamalla yllä olevat laskut uudelleen nähdään, että pinta-ala voidaan laskea myös viivaintegraalina ( Tämä selittää mm. sen, miksi ideaalikaasun termodynaamisessa \(Vp\)-tason kiertoprosessissa (Carnot’n sykli) viivaintegraali

\[-\oint_C p\, dV\]

vastaa syklin sisään jäävää pinta-alaa, ja on toisaalta I pääsäännön mukaan sama kuin syklin vaatima tai sen tekemä työ, kiertosuunnasta riippuen.)

\[A=-\oint_C y\, dx.\]

Yhdistämällä nämä kaksi lauseketta saadaan myös ”symmetrisempi”pinta-alan kaava

\[A=\frac12 A + \frac12 A= \frac12 \oint_C x\, dy -y \, dx.\]

Esimerkki 3.3.17

a) Descartesin lehden (1) yhtälö on \(x^3+y^3-3xy=0\). Muodosta sen parametriesitys laskemalla käyrän leikkauspiste suoran \(y=tx\) kanssa. Parametrina toimii siis leikkaavan suoran kulmakerroin \(t\).

b) Määritä silmukkaa vastaava parametriväli ja laske silmukan pinta-ala käyttämällä edellisen lauseen kaavaa.

Piilota/näytä ratkaisu

Harjoitustehtävä (Pierre de Fermat onnistui laskemaan silmukan pinta-alan geometrisella päättelyllä noin vuonna 1659 ja keksi samalla osittaisintegrointia vastaavan menetelmän jo ennen kuin Newton ja Leibniz keksivät derivaatan ja integraalin: lisätietoja).