\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\oiint}{\unicode{x222F}}\]

Keskiarvoja käyrillä

Tarkastellaan vielä luvun lopuksi funktion keskiarvon laskemista. Kuten kaikissa muissakin integraaleissa, keskiarvo määritellään jakamalla funktion integraali joukon ”mitalla”.

Esimerkki 3.2.1

Laske paraabelin \(y=x^2\), \(-2\le x \le 2\),

  1. keskikaarevuus;

  2. keskikaarevuussäde.

Suoraviivaisin paraabelin parametrisointi on muotoa \(x=t,\ y=t^2\), \(t\in [-2,2]\). Tällöin \(\br'(t)=\bi+2t\bj\) ja \(\|\br'(t)\|=\sqrt{1+4t^2}\), joten kaarenpituudeksi saadaan

\[\ell = \int_C 1\, ds =\int_{-2}^2\sqrt{1+4t^2} \, dt =2\int_0^2\sqrt{1+4t^2}\, dt =2\sqrt{17} - \frac{1}{2}\ln \bigl( \sqrt{17}-4\bigr) \approx 9{,}3,\]

missä integraali laskettiin sijoituksella \(t=\frac{1}{2}\sinh u\). Paraabelin pisteessä \(\br(t)\) sen kaarevuus on muotoa

\[\kappa (\br(t))=\frac{x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)}{\bigl( \sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,\bigr)^3} =\frac{2}{\bigl(\sqrt{1+4t^2}\,\bigr)^3}.\]

Kohdassa a) saadaan keskikaarevuudeksi

\[\begin{split}\begin{array}{rcl} \frac{1}{\ell}\int_C\kappa \, ds &=& \frac{1}{\ell} \int_{-2}^2\kappa (\br(t))\|\br'(t)\|\, dt = \frac{4}{\ell} \int_{0}^2\frac{1}{\bigl(\sqrt{1+4t^2}\,\bigr)^3}\cdot \sqrt{1+4t^2} \, dt \nonumber \\ &=&\frac{4}{\ell}\int_{0}^2\frac{dt}{1+4t^2} = \frac{2}{\ell}\int_{0}^4\frac{dt}{1+4t^2} = \frac{2}{\ell} \arctan 4 \approx 0{,}285, \nonumber \end{array}\end{split}\]

missä integroinnin apuna käytettiin sijoitusta \(t=u/2\).

Kohdassa b) saadaan keskikaarevuussäteeksi

\[\begin{split}\begin{array}{rcl} \frac{1}{\ell}\int_C R \, ds &=& \frac{1}{\ell} \int_{-2}^2R (\br(t))\|\br'(t)\|\, dt \nonumber \\ &=& \frac{1}{\ell} \int_{-2}^2\frac{\bigl(\sqrt{1+4t^2}\,\bigr)^3}{2}\cdot \sqrt{1+4t^2} \, dt \nonumber \\ &=& \frac{1}{\ell} \int_0^2 (1+4t^2)^2 = \frac{1886}{15\ell} \approx 13{,}5. \nonumber \end{array}\end{split}\]

Huomaa, että yksittäisessä pisteessä \(R=1/\kappa\), mutta b-kohdan tulos poikkeaa huomattavasti arvosta \(1/0{,}285\approx 3{,}5\).

Myös keskiön, painopisteen ja hitausmomentin käsitteet voidaan yleistää taso- ja avaruuskäyrille viivaintegraaleja käyttämällä. Näitä käsitellään tarkemmin avaruusintegraalin yhteydessä kappaleessa Avaruusintegraalin sovelluksia. Esimerkiksi tasokäyrän \(C\) keskiön (centroid) koordinaatit saadaan kaavoista

\[\overline{x}=\frac{1}{\ell}\int_C x\, ds, \ \overline{y}=\frac{1}{\ell}\int_C y\, ds,\]

kun \(\ell =\ell(C)\) on kaarenpituus.

Vastaavasti avaruuskäyrän \(C\) hitausmomentti (moment of inertia) tietyn akselin suhteen lasketaan kaavalla

\[J=\int_C \lambda(x,y,z)r_{\perp}(x,y,z)^2\, ds,\]

jossa \(\lambda\) on käyrän pituustiheys ja \(r_{\perp}(x,y,z)\) käyrän pisteen kohtisuora etäisyys pyörimisakselista. Usein laskuissa akseliksi valitaan \(z\)-akseli, jolloin \(r_{\perp}(x,y,z)^2=x^2+y^2\) ja hitausmomentille käytetään merkintää \(J_z\).

Esimerkki 3.2.2

Määritä paraabelin kaaren \(C\colon y=1-x^2\), \(-1\le x\le 1\), keskiön koordinaatit.

Piilota/näytä ratkaisu

Symmetrian perusteella keskiön \(x\)-koordinaatti on \(\overline{x}=0\), mutta \(\overline{y}\) täytyy selvittää laskemalla.

../_images/3-2-2parakeskio.svg

Funktion kuvaajalla \(y=f(x)=1-x^2\) on

\[ds=\sqrt{1+f'(x)^2}\, dx=\sqrt{1+4x^2}\, dx.\]

Paraabelin kaaren pituus on siis

\[\ell =\int_C1\, ds =2\int_0^1\sqrt{1+4x^2}\, dx = \sqrt{5}+\frac{1}{2}\ln(2+\sqrt{5}) \approx 2{,}958;\]

integraalin voi laskea (Maplella tai) sijoituksella \(x=\frac12\sinh t\), jolloin

\[1+4x^2= 1+\sinh^2 t =\cosh^2 t.\]

Koska

\[\begin{array}{rcl} Y=\int_C y\, ds &=& \int_{-1}^1(\underbrace{1-x^2}_{=y})\underbrace{\sqrt{1+(2x)^2}\, dx}_{=ds}\approx 1{,}745, \end{array}\]

niin

\[\overline{y}= \frac{Y}{\ell} \approx 0{,}59.\]

Tehtävä:Keksi tilanteita, joissa paraabelin kaari (3-ulotteiden avaruuden osajoukoksi tulkittuna) pysyy sopivasti tuettuna tasapainossa.

Palautusta lähetetään...