\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\oiint}{\unicode{x222F}}\]

Kaaren pituus¶

Olkoon \(\br\colon [a,b]\to \R^n\) käyrän \(C\) jatkuvasti derivoituva parametrisointi. Jos käyrää approksimoidaan sen sekanteista muodostetulla murtoviivalla ja annetaan approksimaation tihentyä, voidaan olettaa, että murtoviivojen pituudet suppenevat kohti lukua \(\ell\), joka olisi tutkittavan käyrän pituus. Osoittautuu, että näin todella käy ja että kaaren pituus saadaan integraalina (arc length)

\[\ell (C) = \int_a^b \| \br'(t)\|\, dt.\]

Tämän perustelemiseksi tarkastellaan välin \([a,b]\) tasavälistä jakoa pisteillä \(t_k=a+ k\cdot \Delta t\), missä \(\Delta t=(b-a)/n\) ja \(n\) on jakovälien lukumäärä. Tällöin siis \(t_0=a\) ja \(t_n=b\). Jos merkitään \(\Delta \br_k=\br(t_{k})-\br(t_{k-1})\), niin vastaavan murtoviivan pituus on \(\sum_k \| \Delta \br_k\|\). Jokaisella \(k\) on approksimaation (1) mukaan voimassa

\[\Delta \br_k =\br(t_k)-\br(t_{k-1}) \approx \br'(t_{k-1})\Delta t,\]

joten murtoviivan pituus on likimäärin

\[\sum_{k=1}^{n}\| \br'(t_{k-1})\|\Delta t \approx \int_a^b \|\br'(t)\|\, dt.\]

Voidaan osoittaa, että rajalla \(n\to\infty\), ts. kun \(\Delta t\to 0\), murtoviivojen pituuksilla on raja-arvona tämä integraali, joka siis esittää kyseisen käyrän pituutta. Lausekkeen \(\|\mathbf{r}'(t)\|\) konkreettinen tulkinta on kaaren pituuden paikallinen suurennussuhde (joka voi olla myös \(< 1\)), kun siirrytään parametriväliltä käyrälle.

Jos käyrän parametrisointi on ainoastaan (piecewise smooth) paloittain jatkuvasti derivoituva, saadaan koko käyrän pituus laskemalla osien pituudet yhteen.

Koska samalla käyrällä voi olla useita erilaisia parametrisointeja, herää kysymys siitä, onko kaaren pituus itse käyrään vai pelkästään tiettyyn parametrisointiin liittyvä luku. Voidaan osoittaa, ettei kaaren pituus riipu parametrisoinnin valinnasta eikä sen suunnasta. Hieman täsmällisemmin muotoiltuna pätee: jos uusi parametrisointi saadaan muuttujanvaihdolla entisestä, niin niitä vastaavien kaarenpituusintegraalien arvot ovat samat (Täytyy kuitenkin huomata, että jos yksikköympyrä parametrisoidaan kiertämällä se kaksi kertaa ympäri muodossa \(x=\cos t\), \(y=\sin t\), \(0\le t\le 4\pi\), niin itse käyrä ei muutu, mutta kaaren pituus kaksinkertaistuu. Tarkasti ottaen parametrisointi määrää kaiken yksikäsitteisellä tavalla, mutta pelkkä käyrä joukkona ei).

Esimerkki 2.5.1

Lasketaan Helix-käyrän \(\br(t)=(\cos t,\sin t,t)\) kaaren pituus parametrivälillä \(t\in [0,2\pi]\). Koska \(\br'(t)=-\sin t\bi +\cos t\bj+\bk\), niin

\[\| \br'(t)\|=\sqrt{(-\sin t)^2+\cos^2 t+1} = \sqrt{2},\]

joten kaaren pituudeksi saadaan

\[\ell =\int_0^{2\pi}\|\br'(t)\|\, dt =2\sqrt{2}\pi.\]

Esimerkissä parametrisointi venyttää parametrivälin pituutta kertoimella \(2\sqrt{2}\pi/2\pi = \sqrt{2}\). Valitsemalla uusi parametri \(s=\sqrt{2}t\), eli \(t=s/\sqrt{2}\), saadaan toinen parametrisointi

\[\br(s)=(\cos (s/\sqrt{2}),\sin (s/\sqrt{2}),s/\sqrt{2}),\]

jolle \(\|\br'(s)\|=1\) kaikilla \(s\). Tämä tarkoittaa sitä, että kaaren pituus itse käyrällä on täsmälleen sama kuin vastaavan parametrivälin pituus. Tällaista kutsutaan parametrisoinniksi kaaren pituuden suhteen ja se voidaan periaatteessa muodostaa kaikille käyrille. Tuloksella on kuitenkin lähinnä teoreettista mielenkiintoa, koska kaarenpituusintegraaleja ei yleensä voida esittää alkeisfunktioiden avulla, vaan ne täytyy laskea numeerisesti.

Esimerkki 2.5.2

Funktion kuvaajan \(y=f(x)\) kaaren pituudelle on olemassa jo ennestään tuttu kaava. Tutkitaan, millainen tulos saadaan käyttämällä tämän luvun yleisempää tulosta. Kuvaaja voidaan parametrisoida muodossa \(x=t,\ y=f(t)\), \(t\in [a,b]\). Tällöin \(\br'(t)=\bi+f'(t)\bj\) ja \(\| \br'(t)\|=\sqrt{1+f'(t)^2}\), joten kaarenpituudeksi saadaan

\[\ell = \int_a^b \sqrt{1+f'(t)^2} \, dt\]

aivan kuten ennenkin, koska määrätyssä integraalissa muuttujan nimellä ei ole merkitystä (\(x\) tai \(t\)).

Kaaren pituutta voidaan yleisemmin tutkia myös sellaisille käyrille, joiden parametrisointi on muodostettu rajoittamattomalla välillä, ja kaarenpituusintegraalista tulee tällöin epäoleellinen. Jos tämä integraali on suppeneva, niin käyrää sanotaan suoristuvaksi. (rectifiable)

Esimerkki 2.5.3

Onko spiraalin \(x=e^{-t}\cos t,\ y=e^{-t}\sin t\), \(t\ge 0\), kaarenpituus äärellinen?

Lasketaan siis

\[\br'(t)=e^{-t}(-\cos t-\sin t)\bi +e^{-t}(\cos t-\sin t)\bj,\]

josta

\[\| \br'(t)\|=e^{-t}\sqrt{(-\cos t-\sin t)^2 +(\cos t-\sin t)^2}= \sqrt{2}e^{-t}.\]

Näin ollen kaarenpituudeksi saadaan

\[\ell = \int_0^{\infty}\|\br'(t)\|\, dt =\sqrt{2}\int_0^{\infty}e^{-t}\, dt =\sqrt{2},\]

joten spiraali on suoristuva.

On syytä mainita, ettei pelkkä jatkuvuus takaa edes sitä, että suljetulla välillä parametrisoitu tasokäyrä olisi suoristuva. Tunnetuin esimerkki tällaisesta on ns. Lumihiutalekäyrä, jonka keksi ruotsalainen Helge von Koch v. 1904. Tässä yleisemmässä tilanteessa suoristuvuutta ei voida enää tutkia integraalina, vaan päättelyn täytyy perustua ainoastaan approksimoivien murtoviivojen pituuksiin.