\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\oiint}{\unicode{x222F}}\]

Nabla-kaavoja

Useissa sovelluksissa erilaisia nabla-operaatioita täytyy soveltaa funktioiden tuloon tai kaksi kertaa peräkkäin. Näin saadaan kokoelma nabla-kaavoja, joista osa on varsin yksinkertaisia, mutta toiset yllättävän monimutkaisia. Kaikki kaavat voidaan todistaa alkeellisesti komponenttiesityksiä käyttämällä, mutta se on hyvin työlästä. Kurssin lopussa esitetään nopeampi ns. indeksimerkintään perustuva tapa, jolle on käyttöä muissakin sovelluksissa (kuten lujuusopissa ja materiaalien mekaniikassa).

Alla on lueteltu tärkeimmät tapaukset, kun \(f\) ja \(g\) ovat kaksi kertaa derivoituva skalaarikenttä ja \(\mathbf{F}\) ja \(\mathbf{G}\) kaksi kertaa derivoituva vektorikenttä. Kaksi ensimmäistä kohtaa koskee pelkkiä vektoreiden laskutoimituksia. Kaikki ristituloja sisältävät kaavat koskevat vain kolmiulotteista tapausta; muut ovat voimassa kaikissa ulottuvuuksissa.

  • Vektorikolmitulon kaava: (vector triple product)

    \[\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times \mathbf{c})= (\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})\mathbf{b} -(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}) \mathbf{c}\]
  • Skalaarikolmitulon kiertosääntö (scalar triple product)

    \[\begin{split}\left| \begin{matrix} a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3\\ c_1 & c_2 & c_3\\ \end{matrix} \right| = \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})= \mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times \mathbf{a})= \mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b}),\end{split}\]

    joka seuraa myös determinantin ominaisuuksista.

  • Tulon derivaatta -kaavat:

    \[\begin{split}\begin{array}{rcl} \nabla (fg) &=& g\nabla f+f\nabla g, \nonumber\\ \nabla\cdot (f\mathbf{F}) &=& (\nabla f)\cdot \mathbf{F}+f(\nabla\cdot \mathbf{F}), \nonumber\\ \nabla\times (f\mathbf{F}) &=& (\nabla f)\times \mathbf{F}+f(\nabla\times \mathbf{F}). \nonumber \end{array}\end{split}\]

    Tässä vektorikenttä \(f\mathbf{F}\) on kolmiulotteisessa tapauksessa muotoa

    \[f\mathbf{F} =fF_1\,\bi+fF_2\,\bj+fF_3\,\bk.\]
  • Hankalammat ensimmäisen kertaluvun kaavat:

    \[\begin{split}\begin{array}{rcl} \nabla (\mathbf{F}\cdot \mathbf{G}) &=& \mathbf{F}\times(\nabla\times \mathbf{G}) + \mathbf{G}\times(\nabla\times \mathbf{F}) + (\mathbf{F}\cdot \nabla)\mathbf{G} +(\mathbf{G}\cdot \nabla)\mathbf{F}\nonumber\\ \nabla \cdot (\mathbf{F}\times \mathbf{G}) &=& (\nabla\times \mathbf{F})\cdot \mathbf{G} -\mathbf{F}\cdot (\nabla\times \mathbf{G})\nonumber\\ \nabla\times ({\bf F}\times {\bf G})&=&(\nabla\cdot {\bf G}){\bf F} -(\nabla\cdot {\bf F}){\bf G}-({\bf F}\cdot\nabla){\bf G}+({\bf G}\cdot\nabla){\bf F}\nonumber \end{array}\end{split}\]
  • Helpot toisen kertaluvun kaavat (mainittiin jo yllä):

    \[\begin{split}\begin{array}{rcl} \nabla\cdot (\nabla f) &=& \Delta f \nonumber\\ \nabla\times \nabla f &=& \overline{0}\nonumber\\ \nabla\cdot (\nabla\times {\bf F})&=&0\nonumber \end{array}\end{split}\]
  • Hankalampi toisen kertaluvun kaava:

    \[\begin{array}{rcl} \nabla\times (\nabla \times \mathbf{F}) &=& \nabla(\nabla\cdot \mathbf{F})-\Delta \mathbf{F}\nonumber \end{array}\]

    Merkintöihin \({\bf G}\cdot\nabla\) ja \(\Delta \mathbf{F}\) palataan myöhemmissä kappaleissa

Palautusta lähetetään...