\[\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bff}{\mathbf{f}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bi}{\mathbf{i}}
\newcommand{\bj}{\mathbf{j}}
\newcommand{\bk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bo}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\bzero}{\mathbf{0}}
\newcommand{\nv}{\mathbf{0}}
\newcommand{\cA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\cD}{\mathcal{D}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\cG}{\mathcal{G}}
\newcommand{\cH}{\mathcal{H}}
\newcommand{\cI}{\mathcal{I}}
\newcommand{\cJ}{\mathcal{J}}
\newcommand{\cK}{\mathcal{K}}
\newcommand{\cL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\cM}{\mathcal{M}}
\newcommand{\cN}{\mathcal{N}}
\newcommand{\cO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\cP}{\mathcal{P}}
\newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}}
\newcommand{\cR}{\mathcal{R}}
\newcommand{\cS}{\mathcal{S}}
\newcommand{\cT}{\mathcal{T}}
\newcommand{\cU}{\mathcal{U}}
\newcommand{\cV}{\mathcal{V}}
\newcommand{\cW}{\mathcal{W}}
\newcommand{\cX}{\mathcal{X}}
\newcommand{\cY}{\mathcal{Y}}
\newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}}
\newcommand{\rA}{\mathrm{A}}
\newcommand{\rB}{\mathrm{B}}
\newcommand{\rC}{\mathrm{C}}
\newcommand{\rD}{\mathrm{D}}
\newcommand{\rE}{\mathrm{E}}
\newcommand{\rF}{\mathrm{F}}
\newcommand{\rG}{\mathrm{G}}
\newcommand{\rH}{\mathrm{H}}
\newcommand{\rI}{\mathrm{I}}
\newcommand{\rJ}{\mathrm{J}}
\newcommand{\rK}{\mathrm{K}}
\newcommand{\rL}{\mathrm{L}}
\newcommand{\rM}{\mathrm{M}}
\newcommand{\rN}{\mathrm{N}}
\newcommand{\rO}{\mathrm{O}}
\newcommand{\rP}{\mathrm{P}}
\newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}}
\newcommand{\rR}{\mathrm{R}}
\newcommand{\rS}{\mathrm{S}}
\newcommand{\rT}{\mathrm{T}}
\newcommand{\rU}{\mathrm{U}}
\newcommand{\rV}{\mathrm{V}}
\newcommand{\rW}{\mathrm{W}}
\newcommand{\rX}{\mathrm{X}}
\newcommand{\rY}{\mathrm{Y}}
\newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}}
\newcommand{\pv}{\overline}
\newcommand{\iu}{\mathrm{i}}
\newcommand{\ju}{\mathrm{j}}
\newcommand{\im}{\mathrm{i}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\real}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\imag}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}}
\newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}}
\DeclareMathOperator*{\res}{res}
\newcommand{\re}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}}
\newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}}
\newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{proj}}
\newcommand{\rref}{\operatorname{rref}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
\newcommand{\Span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\vir}{\operatorname{span}}
\renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}}
\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
\newcommand{\geom}{\operatorname{geom}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert}
\newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]}
\newcommand{\piste}{\cdot}
\newcommand{\qedhere}{}
\newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]}
\newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]}
\newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}
\newcommand{\trans}{\mathrm{T}}
\newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}}
\newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}}
\newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}}
\newcommand{\num}[2][]{#2}
\newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}}
\newcommand{\meter}{m}
\newcommand{\metre}{\meter}
\newcommand{\kilo}{k}
\newcommand{\kilogram}{kg}
\newcommand{\gram}{g}
\newcommand{\squared}{^2}
\newcommand{\cubed}{^3}
\newcommand{\minute}{min}
\newcommand{\hour}{h}
\newcommand{\second}{s}
\newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C}
\newcommand{\per}{/}
\newcommand{\centi}{c}
\newcommand{\milli}{m}
\newcommand{\deci}{d}
\newcommand{\percent}{\%}
\newcommand{\Var}{\operatorname{Var}}
\newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}}
\newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}}
\newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}}
\newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}}
\newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}}
\newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}}
\newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}}
\newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}}
\newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}}
\newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}}
\newcommand{\tdist}{\operatorname{t}}
\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}
\newcommand{\oiint}{\unicode{x222F}}\]
Lähteisyys ja pyörteisyys
Olkoon \(A\subset \R^n\) avoin. Vektorikentän \({\bf F}\colon A\to {\bf R}^n\) (divergence) lähteisyys
(eli divergenssi, ”nabla piste \({\bf F}\)”) on skalaarikenttä
\[\begin{split}\begin{array}{rcl}
\nabla \cdot {\bf F} &=& \text{div}\, {\bf F}= D_1F_1+\dots +D_nF_n = \sum_{k=1}^nD_kF_k
= \sum_{k=1}^n \frac{\partial F_k}{\partial x_k}\\
&=& \frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z} \ (n=3)\nonumber
\end{array}\end{split}\]
ja tapauksessa \(n=3\) sen pyörteisyys (eli roottori, ”nabla risti \({\bf F}\)”) (curl) (rotation)
(vorticity) on vektorikenttä
\[\begin{split}\begin{array}{rcl}
\nabla \times {\bf F} &=& \text{curl}\, {\bf F}= \text{rot}\, {\bf F}
=\left| \begin{matrix} {\bf i} &{\bf j} & {\bf k} \\
D_1 & D_2 & D_3 \\
F_1 & F_2 & F_3\\
\end{matrix} \right| \nonumber \\
&=&(D_2F_3-D_3F_2){\bf i}-(D_1F_3-D_3F_1){\bf j}+(D_1F_2-D_2F_1){\bf k}.\nonumber
\end{array}\end{split}\]
Vektorikenttä on \(\mathbf{F}\) on lähteetön, (solenoidal) (divergence-free) jos
\[\nabla\cdot \mathbf{F}=0,\]
ja pyörteetön, (irrotational) (curl-free) jos
\[\nabla\times \mathbf{F}=\overline{0}.\]
Nämä ehdot vaaditaan siis kaikissa vektorikentän määrittelyjoukon pisteissä.
Pyörteisyys ja skalaaripotentiaali
Koska vektorikentän \(\nabla \times {\bf F}\) koordinaattifunktiot ovat muotoa
\[\frac{\partial F_i}{\partial x_j}-\frac{\partial F_j}{\partial x_i},\]
niin kentän \({\bf F}\) konservatiivisuuden (lokaalisti) takaava ehto (2)
voidaan kolmiulotteisessa tapauksessa kirjoittaa yksinkertaisessa muodossa
\[\nabla \times {\bf F}=\overline{0}.\]
Ainakin lokaalisti pätee siis: ”konservatiivinen = pyörteetön”.
Laplace-operaattori
Skalaarikentälle \(f\) on voimassa
\[\nabla\cdot \nabla f = f_{x_1x_1}+\dots +f_{x_nx_n} =\Delta f,\]
missä \(\Delta\) on ennestään tuttu (?) Laplace-operaattori (Laplacian)
\[\Delta = \frac{\partial²}{\partial x_1^2}+\dots +\frac{\partial^2}{\partial x_n^2}.\]
Voidaan siis ajatella, että \(\Delta = \nabla\cdot \nabla\), ja joskus Laplace-operaattorille käytetään
myös merkintää \(\nabla^2\). Tapauksessa \(n=3\) on siis
\[\Delta f =\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}
+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2} =f_{xx}+f_{yy}+f_{zz}.\]
Huomautus 7.2.1
Fysikaalissa sovelluksissa nabla-operaatioiden osittaisderivaatat lasketaan vain
paikkamuuttujien suhteen.
Jos esimerkiksi \(u(x,y,z,t)\) kuvaa jonkin kappaleen pisteen \((x,y,z)\) lämpötilaa hetkellä \(t\), niin
\(\Delta u= u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}\), eikä siihen sisälly termiä \(u_{tt}\). Sama tulkinta koskee myös
gradienttia, lähteisyyttä ja pyörteisyyttä; vrt. esimerkit 1.2 ja 1.8.
Lisäksi täytyy muistaa, että Laplace-operaattori ei liity mitenkään funktion
muutosta kuvaavaan lausekkeeseen \(\Delta f = f(\mathbf{r}+\Delta \mathbf{r})-f(\mathbf{r})\).
Esimerkki 7.2.2
Laplace-operaattori esiintyy kaikissa kolmessa sovellusten kannalta tärkeimmässä
osittaisdiffrerentiaaliyhtälössä:
Laplace-yhtälö \(\Delta u = 0\) ja Poisson-yhtälö (Poisson’s equation) \(\Delta u = f\), jossa \(u=u(x,y,z)\) on
esimerkiksi sähkökentän potentiaali.
Lämpöyhtälö (heat equation) \(u_t=k\Delta u\), jossa \(u=u(x,y,z,t)\) on kappaleen lämpötila ja vakio \(k>0\) aineen
lämmönjohtavuus. (heat conductivity) Sama yhtälö
kuvaa myös konsentraation \(u\) muutoksia diffuusiossa, (diffusion equation) jolloin vakiota merkitään
yleensä symbolilla \(D\).
Staattinen eli ajasta riippumaton lämpöyhtälön ratkaisu toteuttaa Laplace-yhtälön;
vrt. esimerkki 1.7.
Aaltoyhtälö (wave equation) \(u_{tt}=c^2\Delta u\), jossa \(u=u(x,y,z,t)\) on aallon amplitudi. (amplitude)
Tässä vakio \(c\) on aallon
etenemisnopeus. (speed of propagation)
Edellä mainittu nabla-operaatioita koskeva huomautus liittyy sekä lämpö- että aaltoyhtälöön.
Koska toisen kertaluvun osittaisderivaatat voidaan laskea (kaksi kertaa jatkuvasti derivoituville)
usean muuttujan funktiolle missä järjestyksessä tahansa, on yleisesti voimassa
\[\begin{split}\begin{cases}
\nabla\cdot (\nabla\times {\bf A})=0&\\
\nabla\times \nabla f= \overline{0}&\\
\end{cases}\end{split}\]
kaikille kentille.
Perustelu: Laskuharjoitukset.
Esimerkki 7.2.3
Laske vektorikenttien \({\bf F}(x,y,z)=x\bi+y\bj+z\bk\) ja \({\bf G}(x,y,z)=y\bi-x\bj\)
lähteisyys ja pyörteisyys.
Kentälle \({\bf F}\) saadaan
\[\nabla\cdot {\bf F} = \frac{\partial x}{\partial x}+ \frac{\partial y}{\partial y}
+ \frac{\partial z}{\partial z} = 3\]
ja \(\nabla\times {\bf F}=\overline{0}\). Kenttä on siis pyörteetön, mikä ilmenee myös
kuviosta, koska kyseessä on säteittäinen eli radiaalinen kenttä.
Kentälle \({\bf G}\) on puolestaan
\[\nabla\cdot {\bf G} = \frac{\partial y}{\partial x}+ \frac{\partial (-x)}{\partial y}
+ \frac{\partial 0}{\partial z} = 0,\]
joten kyseessä on lähteetön kenttä. Toisaalta
\[\begin{split}\nabla\times {\bf F}=\left| \begin{matrix} {\bf i} &{\bf j} & {\bf k} \\
D_1 & D_2 & D_3 \\
y & -x & 0\\
\end{matrix} \right| =
\left( 0-\frac{\partial (-x)}{\partial z}\right) {\bf i}-\left( 0-\frac{\partial y}{\partial z}\right) {\bf j}+
\left( \frac{\partial (-x)}{\partial x}-\frac{\partial y}{\partial y}\right) {\bf k}=-2\bk.\end{split}\]
Tällainen kenttä voisi kuvata esim. nestepyörrettä \(z\)-akselin ympäri.
Esimerkki 7.2.4
Osoita, että vektorikenttä
\[{\bf F}(x,y,z)=(y+3z)\bi+(x+2z)\bj+(3x+2y)\bk\]
on lähteetön ja pyörteetön.
Piilota/näytä ratkaisu
Luennolla/harjoitukset. Lisätieto: Pyörteettömyysehdon vuoksi tällaisella
vektorikentällä on (ainakin lokaalisti) potentiaali, ts.
\({\bf F}=\nabla u\), mutta lähteettömyysehdon vuoksi potentiaalin \(u\) täytyy lisäksi
toteuttaa Laplace-yhtälö \(\Delta u= \nabla\cdot\nabla u =0\).
Esimerkin vektorikenttä on saatu tällä tavalla potentiaalista \(u(x,y,z)=xy+2yz+3xz\),
joka toteuttaa myös ehdon \(\Delta u = 0\).
Esimerkki 7.2.5
Osoita, että vektorikentällä
\[{\bf F}(x,y,z)=2xz\cos y\bi+(1-x^2z\sin y)\bj+(x^2\cos y -3z^2)\bk\]
on potentiaali.
Piilota/näytä ratkaisu
Koska
\[\begin{split}\nabla\times {\bf F}=\left| \begin{matrix} {\bf i} &{\bf j} & {\bf k} \\
D_1 & D_2 & D_3 \\
2xz\cos y & 1-x^2z\sin y & x^2\cos y -3z^2\\
\end{matrix} \right| =\overline{0}\end{split}\]
koko avaruudessa, niin \({\bf F}\):llä on potentiaali. Potentiaalin \(u\) muodostaminen käytännössä
on esitetty aikaisemmin; siinä ratkaistiin yhtälöryhmä
\[\begin{split}\begin{cases}
u_x=F_1=2xz\cos y&\\
u_y=F_2=1-x^2z\sin y&\\
u_z=F_3=x^2\cos y -3z^2&\\
\end{cases}\end{split}\]
integroimalla.
Seuraavan esimerkin avulla vektorikentän lähteisyyden voi päätellä
kvalitatiivisesti (esimerkiksi kuvasta katsomalla) kenttäviivojen ja
kentän voimakkuuden \(\| \mathbf{F}\|\) avulla.
Esimerkki 7.2.6
Tarkastellaan positiivista skalaarikenttää \(f(x,y,z)\) ja siitä muodostettua
laminaarista vektorikenttää
\[\mathbf{F}(x,y,z) = f(x,y,z)\, \mathbf{e},\]
kun \(\mathbf{e}\) on kolmiulotteisen avaruuden vakiovektori, jolloin \(\| \mathbf{F}\|= f\).
Osoita, että
\[\nabla \cdot \mathbf{F} = D_{\mathbf{e}} f = \nabla f \cdot \mathbf{e}.\]
Laminaarisuus tarkoittaa sitä, että vektorikentän
kenttäviivat ovat yhdensuuntaisia (vektorin \(\mathbf{e}\) suuntaisia) suoria.
Kaavan oikealla puolella esiintyy vektorikentän \(\mathbf{F}\) voimakkuuden \(f\)
suunnattu derivaatta kenttäviivan suuntaan. Tämä kaava yleistyy likimääräisesti
myös ”kaareville”vektorikentille. Gaussin lauseen avulla voidaan
osoittaa, että kaavassa pätee jopa yhtäsuuruus, jos kenttäviivoista muodostuu
”virtausputkia”, joiden paksuus ei muutu.
Seuraavan esimerkin kaavat voidaan todistaa esittämällä lausekkeet \(xyz\)-koordinaateissa,
mutta paljon helpommin kurssin loppuosan yleisillä menetelmillä.
Esimerkki 7.2.7
Säteittäisille kentille on voimassa (radial vector field)
\[\begin{split}\begin{array}{rcl}
\nabla f(r) &=& f'(r)\frac{{\bf r}}{r}= f'(r){\bf e}_r, \nonumber\\
\nabla \cdot f(r){\bf e}_r&=& f'(r)+\frac{2}{r}f(r) \ \text{ ja } \nonumber\\
\nabla \times f(r){\bf e}_r &=&\overline{0}.\nonumber
\end{array}\end{split}\]
Tässä \({\bf r}=x{\bf i} +y{\bf j} +z {\bf k}\), \(r=\| {\bf r}\| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
ja \(\mathbf{e}_r=\br/r\) ovat pallokoordinaatistoon liittyviä merkintöjä.
Esimerkiksi säteittäisen painovoimakentän \({\bf F}=-c\, \br/r^3\) potentiaaliksi
voidaan valita \(u ( r) =c/r\) ja sille pätee \(\nabla \cdot {\bf F}=0\)
ja \(\nabla \times {\bf F}=\overline{0}\). Painovoimakenttä on siis lähteetön ja pyörteetön
(alueessa \(r > 0\)).
Edellinen esimerkki liittyy tilanteeseen, jossa nabla-operaatioille tarvitaan
esitys tavallisesta \(xyz\)-koordinaatistosta poikkeavien uusien koordinaattien avulla.
Tärkeimmät tapaukset ovat tason napakoordinaatisto sekä avaruuden pallo- ja sylinterikoordinaatistot,
joita käsitellään myöhemmin tällä kurssilla.
Esimerkki 7.2.8
Divergenssin ja roottorin tunnetuin sovellus liittyy sähkö- ja magneettikenttien väliseen
yhteyteen, jota kuvaavat Maxwellin yhtälöt: (Maxwell’s equations)
\[\begin{split}\begin{cases}
\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho &\\
\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 &\\
\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} &\\
\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J}+\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}. &\\
\end{cases}\end{split}\]
Merkintöjen selitykset.