\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\oiint}{\unicode{x222F}}\]

Kaksinkertainen integraali¶

Seuraavaa lausetta käytetään apuna todistamaan, että kaksinkertainen integraali suorakulmiossa voidaan laskea kummassa järjestyksessä tahansa.

Lause 1.1.1

Olkoon \(I\subset \mathbf{R}\) avoin väli ja \(f\colon [a,b]\times I\to\mathbf{R}\) jatkuva. Jos osittaisderivaatta \(f_t(x,t)\) on jatkuva, niin

\[\frac{d}{dt}\int_a^b f(x,t)\, dx =\int_a^b f_t(x,t)\, dx,\]

kun \(t\in I\).

Piilota/näytä todistus

Kaava täytyy todistaa erotusosamäärän raja-arvon määritelmää käyttämällä, joten olkoon \(\varepsilon > 0\). Olkoon lisäksi \(t\in I\) ja \(t+h\in I\), ja merkitään

\[g(t)=\int_a^b f(x,t)\, dx.\]

Yhden muuttujan väliarvolauseen nojalla

\[f(x,t+h)-f(x,t) = f_t(x,c)h\]

jollakin \(c=c(x,t,h)\in [t,t+h]\). Näin ollen

\[g(t+h)-g(t) = \int_a^b (f(x,t+h)-f(x,t))\, dx = h\int_a^b f_t(x,c)\, dx,\]

joten

\[\begin{split}\begin{array}{rcl} \left| \frac{g(t+h)-g(t)}{h} -\int_a^b f_t(x,t)\, dx\right| &=& \left| \int_a^b f_t(x,c)\, dx -\int_a^b f_t(x,t)\, dx\right| \nonumber\\ &=& \left| \int_a^b (f_t(x,c)\, dx - f_t(x,t))\, dx\right|\nonumber\\ &\le& \int_a^b |f_t(x,c)\, dx - f_t(x,t)|\, dx.\nonumber \end{array}\end{split}\]

Koska \(f_t\) on (tasaisesti) jatkuva joukossa \([a,b]\times [t,t+h]\), niin on olemassa sellainen \(\delta >0\), että

\[|f_t(x,c)\, dx - f_t(x,t)|< \frac{\varepsilon}{b-a}\]

kaikilla \(x\in [a,b]\), kun \(|h|<\delta\). Näillä \(h\):n arvoilla pätee siis

\[\left| \frac{g(t+h)-g(t)}{h} -\int_a^b f_t(x,t)\, dx\right| < \int_a^b \frac{\varepsilon}{b-a}\, dx =\varepsilon,\]

josta väite seuraa. (Tasaista jatkuvuutta tarvitaan, jotta sama yläraja saadaan kaikilla muuttujan \(x\) arvoilla, eikä vain jokaisessa kohdassa erikseen. Tasaista jatkuvuutta käsitellään kurssilla Metric spaces.)

Integraalin derivointi parametrin suhteen tarjoaa joissakin tilanteissa ovelan tempun integraalin laskemiseen. Näistä tunnetuin (mutta ei mielenkiintoisin) on seuraava esimerkki, jonka perinteinen ratkaisu perustuu osittaisintegroimalla johdettavaan palautuskaavaan.

Esimerkki 1.1.2

Laske epäoleellinen integraali \(\displaystyle{\int_0^{\infty} x^n e^{-x}\, dx}\), kun \(n\in \mathbf{N}\).

Piilota/näytä ratkaisu

Sijoitetaan eksponenttiin keinotekoinen parametri \(a\):

\[\int_0^{\infty} x^n e^{-x}\, dx = \int_0^{\infty} x^n e^{-ax}\, dx,\]

kun \(a=1\). Toisaalta

\[\frac{\partial^n }{\partial a^n} e^{-ax} = (-1)^n x^n e^{-ax},\]

joten

\[\begin{split}\begin{array}{rcl} \int_0^{\infty} x^n e^{-ax}\, dx &=& (-1)^n \int_0^{\infty} \frac{\partial^n }{\partial a^n} e^{-ax} = (-1)^n \frac{d^n }{d a^n} \int_0^{\infty} e^{-ax}\, dx\nonumber \\ &=& (-1)^n \frac{d^n }{d a^n} \frac{1}{a} = (-1)^n (-1)^n\frac{n!}{a^{n+1}} \nonumber \\ &=& \frac{n!}{a^{n+1}}. \nonumber \end{array}\end{split}\]

Sijoittamalla tähän kaavaan \(a=1\) saadaan

\[\int_0^{\infty} x^n e^{-x}\, dx =n!.\]

Ratkaisusta on jätetty pois epäoleellisen integraalin määritelmään kuuluva katkaisu, joka lisää teknisiä yksityiskohtia.

Kahden muuttujan funktiota \(f(x,y)\) voidaan integroida peräkkäin eri muuttujien suhteen kuhunkin muuttujaan liittyvällä välillä \(a\le x\le b\) ja \(c\le y\le d\). Ensimmäisessä integraalissa yksi muuttuja häviää, jolloin esimerkiksi lauseke

\[\int_c^d f(x,y)\, dy\]

riippuu vain muuttujasta \(x\), joka voidaan tulkita parametriksi integroitavassa lausekkeessa. Kun integraalin tulos integroidaan muuttujan \(x\) suhteen, saadaan pelkkä reaaliluku, joka on kyseisen kaksinkertaisen integraalin arvo. Seuraava lause osoittaa, että lopputulos ei riipu integraalien järjestyksestä. Tämä muistuttaa osittaisderivaattoja koskevaa tulosta, jonka mukaan (riittävän sileän) funktion toisen kertaluvun osittaisderivaatat eivät riipu derivointijärjestyksestä.

Lause 1.1.3

Olkoon \(f\colon [a,b]\times [c,d]\to\mathbf{R}\) jatkuva. Tällöin

\[\int_a^b \left( \int_c^d f(x,y)\, dy \right) dx= \int_c^d \left( \int_a^b f(x,y)\, dx \right) dy.\]

Piilota/näytä todistus

Olkoon

\[u(t) = \int_a^t \left( \int_c^d f(x,y)\, dy \right) dx\]

\[v(t) = \int_c^d \left( \int_a^t f(x,y)\, dx \right) dy,\]

kun \(a\le t\le b\). Selvästi \(u(a)=v(a)=0\). Osoitetaan, että yhtäsuuruus pätee kaikilla \(a\le t < b\), jolloin jatkuvuuden perusteella se pätee myös arvolla \(t=b\), josta väite seuraa.

Analyysin peruslauseen nojalla

\[u'(t)= \int_c^d f(t,y)\, dy\]

ja integraalin derivoimista parametrin suhteen koskevan lauseen nojalla

\[v'(t) = \int_c^d \left( \frac{\partial}{\partial t}\int_a^t f(x,y)\, dx \right) dy =\int_c^d f(t,y)\, dy = u'(t),\]

kun \(a<t<b\). Funktioilla \(u\) ja \(v\) on siis sama alkuarvo kohdassa \(t=a\) ja samat derivaatat (Erotuksen derivaatta on siis \(D(u(t)-v(t))=0\)), joten ne ovat yhtäsuuria arvoilla \(a\le t<b\).