\[\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bff}{\mathbf{f}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bi}{\mathbf{i}}
\newcommand{\bj}{\mathbf{j}}
\newcommand{\bk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bo}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\bzero}{\mathbf{0}}
\newcommand{\nv}{\mathbf{0}}
\newcommand{\cA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\cD}{\mathcal{D}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\cG}{\mathcal{G}}
\newcommand{\cH}{\mathcal{H}}
\newcommand{\cI}{\mathcal{I}}
\newcommand{\cJ}{\mathcal{J}}
\newcommand{\cK}{\mathcal{K}}
\newcommand{\cL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\cM}{\mathcal{M}}
\newcommand{\cN}{\mathcal{N}}
\newcommand{\cO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\cP}{\mathcal{P}}
\newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}}
\newcommand{\cR}{\mathcal{R}}
\newcommand{\cS}{\mathcal{S}}
\newcommand{\cT}{\mathcal{T}}
\newcommand{\cU}{\mathcal{U}}
\newcommand{\cV}{\mathcal{V}}
\newcommand{\cW}{\mathcal{W}}
\newcommand{\cX}{\mathcal{X}}
\newcommand{\cY}{\mathcal{Y}}
\newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}}
\newcommand{\rA}{\mathrm{A}}
\newcommand{\rB}{\mathrm{B}}
\newcommand{\rC}{\mathrm{C}}
\newcommand{\rD}{\mathrm{D}}
\newcommand{\rE}{\mathrm{E}}
\newcommand{\rF}{\mathrm{F}}
\newcommand{\rG}{\mathrm{G}}
\newcommand{\rH}{\mathrm{H}}
\newcommand{\rI}{\mathrm{I}}
\newcommand{\rJ}{\mathrm{J}}
\newcommand{\rK}{\mathrm{K}}
\newcommand{\rL}{\mathrm{L}}
\newcommand{\rM}{\mathrm{M}}
\newcommand{\rN}{\mathrm{N}}
\newcommand{\rO}{\mathrm{O}}
\newcommand{\rP}{\mathrm{P}}
\newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}}
\newcommand{\rR}{\mathrm{R}}
\newcommand{\rS}{\mathrm{S}}
\newcommand{\rT}{\mathrm{T}}
\newcommand{\rU}{\mathrm{U}}
\newcommand{\rV}{\mathrm{V}}
\newcommand{\rW}{\mathrm{W}}
\newcommand{\rX}{\mathrm{X}}
\newcommand{\rY}{\mathrm{Y}}
\newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}}
\newcommand{\pv}{\overline}
\newcommand{\iu}{\mathrm{i}}
\newcommand{\ju}{\mathrm{j}}
\newcommand{\im}{\mathrm{i}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\real}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\imag}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}}
\newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}}
\DeclareMathOperator*{\res}{res}
\newcommand{\re}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}}
\newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}}
\newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{proj}}
\newcommand{\rref}{\operatorname{rref}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
\newcommand{\Span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\vir}{\operatorname{span}}
\renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}}
\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
\newcommand{\geom}{\operatorname{geom}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert}
\newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]}
\newcommand{\piste}{\cdot}
\newcommand{\qedhere}{}
\newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]}
\newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]}
\newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}
\newcommand{\trans}{\mathrm{T}}
\newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}}
\newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}}
\newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}}
\newcommand{\num}[2][]{#2}
\newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}}
\newcommand{\meter}{m}
\newcommand{\metre}{\meter}
\newcommand{\kilo}{k}
\newcommand{\kilogram}{kg}
\newcommand{\gram}{g}
\newcommand{\squared}{^2}
\newcommand{\cubed}{^3}
\newcommand{\minute}{min}
\newcommand{\hour}{h}
\newcommand{\second}{s}
\newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C}
\newcommand{\per}{/}
\newcommand{\centi}{c}
\newcommand{\milli}{m}
\newcommand{\deci}{d}
\newcommand{\percent}{\%}
\newcommand{\Var}{\operatorname{Var}}
\newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}}
\newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}}
\newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}}
\newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}}
\newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}}
\newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}}
\newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}}
\newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}}
\newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}}
\newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}}
\newcommand{\tdist}{\operatorname{t}}
\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}
\newcommand{\oiint}{\unicode{x222F}}\]
Käyräviivainen koordinaatisto
Ennen yleisen tapauksen käsittelyä voi olla hyödyllista kerrata pallokoordinaatistoa,
jolloin tämän kappaleen käsitteille saadaan hyvin konkreettiset ja ennestään
tutut tulkinnat (erityisesti Maapalloon sovellettuna). Pallokoordinaatistoa
käsitellään tarkemmin seuraavassa kappaleessa.
Kolmiulotteisen avaruuden alueen \(D\) (joka on yleensä
koko \(\R^3\)) esitys käyräviivaisen koordinaatiston (curvilinear coordinates)
avulla syntyy jatkuvasta muuttujanvaihdosta \(\mathbf{r}\colon \Omega\to D\), kun \(\Omega\subset\R^3\).
Tällöin siis
\[\mathbf{r} (u,v,w) =(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))\in D \text{ kaikilla } (u,v,w)\in\Omega.\]
Joukkoa \(\Omega\) kutsutaan yleensä parametrialueeksi.
Muuttujanvaihdon täytyy olla injektiivinen (eri pisteet kuvautuvat eri pisteille) alueen
\(\Omega\) sisällä, mutta injektiivisyyttä ei käytännön syistä vaadita sen reunalla \(\partial \Omega\).
Edes tärkein esimerkki pallokoordinaatisto ei toteuta injektiivisyysvaatimusta parametrialueen
reunalla.
Muuttujanvaihtoon liittyvät koordinaattipinnat (coordinate surface) saadaan kiinnittämällä yksi
koordinaatti ja antamalla kahden muun vaihdella:
\(uv\)-koordinaattipinta \((u,v)\mapsto\mathbf{r} (u,v,w_0)\),
\(uw\)-koordinaattipinta \((u,w)\mapsto\mathbf{r} (u,v_0,w)\) ja
\(vw\)-koordinaattipinta \((v,w)\mapsto\mathbf{r} (u_0,v,w)\).
Kun kaksi koordinaattia kiinnitetään,
niin saadaan (coordinate curve) koordinaattiviivoja:
\(u\)-koordinaattiviiva \(u\mapsto\mathbf{r} (u,v_0,w_0)\),
\(v\)-koordinaattiviiva \(v\mapsto\mathbf{r} (u_0,v,w_0)\), ja
\(w\)-koordinaattiviiva \(w\mapsto\mathbf{r} (u_0,v_0,w)\).
Nämä ovat myös sopivien
koordinaattipintojen leikkauskäyriä.
Mieti, millaisia nämä joukot ovat pallokoordinaatistossa \((r,\varphi,\theta)\),
jota käsitellään tarkemmin seuraavassa kohdassa.
Kaikki tärkeimmät avaruuden koordinaatistot ovat ortogonaalisia ja oikeakätisiä.
Jos ortogonaalinen koordinaatisto ei toteuta oikeakätisyysehtoa, niin se saadaan
korjattua esimerkiksi vaihtamalla \(u\)- ja \(v\)-muuttujien järjestys.
Pienessä muutoksessa \(u\)-koordinaatin suuntaan välillä \([u,u+\Delta u]\) on
\[\Delta \mathbf{r} = \mathbf{r}(u+\Delta u,v,w)-\mathbf{r}(u,v,w)
\approx \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\, \Delta u,\]
(vrt. approksimaatio (1))
joten \(\|\Delta \mathbf{r}\|\approx h_u\Delta u\). Näin saadaan
koordinaattiviivojen kaarenpituusdifferentiaalit (arc length element) venytyssuhteiden avulla
lausuttuina:
\[ds_u= h_u\, du, \ ds_v= h_v\, dv \text{ ja } ds_w= h_w\, dw.\]
Suorakulmion pinta-ala ja suorakulmaisen särmiön tilavuus saadaan kertomalla keskenään
sivujen pituudet. Tämän vuoksi ortogonaalisessa tapauksessa saadaan koordinaattitasojen
pinta-aladifferentiaalit (area element)
\[dS_u= h_vh_w\, dv\, dw, dS_v= h_uh_w\, du\, dw \text{ ja } dS_w= h_uh_v\, du\, dv\]
sekä tilavuusalkio (volume element)
\[dV= h_uh_vh_w\, du\, dv\, dw.\]
Nämä kaavat täytyy tulkita rajatapauksina approksimaatioista kuten
\[\Delta V \approx h_uh_vh_w\, \Delta u\, \Delta v\, \Delta w,\]
kun \(\Delta u, \Delta v, \Delta w\to 0\).
Differentiaalien edessä olevat kertoimet kuvaavat pinta-alan ja tilavuuden suurennussuhteita,
kun siirrytään parametrialueesta \(xyz\)-koordinaatistoon. Näihin palataan vielä tarkemmin
pinta- ja avaruusintegraalien kohdalla luvuissa 4 ja 5.
Kaarenpituus
Ortogonaalisessa tapauksessa välillä \([a,b]\) parametrisoidun käyrän
\[C\colon t\mapsto \mathbf{r}(u(t),v(t),w(t)),\ a\le t\le b,\]
kaarenpituusdifferentiaali (arc length differential) on
\[ds^2=h_u^2\, du^2+h_v^2\, dv^2+h_w^2\, dw^2,\]
ts. käyrän kaarenpituus on muotoa
\[\ell = \int_C 1\, ds = \int_a^b\sqrt{h_u^2u'(t)^2+h_v^2v'(t)^2+h_w^2w'(t)^2}\, dt.\]
Tulkinta ja perustelu: \(ds=\| \frac{d}{dt} \mathbf{r}(u(t),v(t),w(t))\| \, dt\)
on symbolinen merkintä kaarenpituusdifferentiaalille, jota integroimalla
saadaan kaarenpituus.
Symbolisessa muodossa tulkitaan myös \(du=u'(t)\, dt\), jne., joka vastaa yleistä
funktion differentiaalin määritelmää (vrt. Diff-int-2). Derivoitava vektori on
muotoa
\[\mathbf{r}(u(t),v(t),w(t)) = x(u(t),v(t),w(t))\mathbf{i}+ y(u(t),v(t),w(t))\mathbf{j}+
z(u(t),v(t),w(t))\mathbf{k},\]
joten ketjusäännön avulla saadaan
\[\begin{split}\begin{array}{rcl}
\frac{d}{dt} \mathbf{r}(u(t),v(t),w(t)) &=& \left(\frac{\partial x}{\partial u}u'(t)+
\frac{\partial x}{\partial v}v'(t)+
\frac{\partial x}{\partial w}w'(t)\right) \mathbf{i}\nonumber \\
&+& \left(\frac{\partial y}{\partial u}u'(t)+
\frac{\partial y}{\partial v}v'(t)+
\frac{\partial y}{\partial w}w'(t)\right) \mathbf{j}\nonumber \\
&+& \left(\frac{\partial z}{\partial u}u'(t)+
\frac{\partial z}{\partial v}v'(t)+
\frac{\partial z}{\partial w}w'(t)\right) \mathbf{k}\nonumber \\
&=& u'(t) \left(\frac{\partial x}{\partial u}\mathbf{i}+\frac{\partial y}{\partial u}\mathbf{j}
+\frac{\partial z}{\partial u}\mathbf{k}\right) \nonumber\\
&+& v'(t) \left(\frac{\partial x}{\partial v}\mathbf{i}+\frac{\partial y}{\partial v}\mathbf{j}
+\frac{\partial z}{\partial v}\mathbf{k}\right)\nonumber\\
&+& w'(t) \left(\frac{\partial x}{\partial w}\mathbf{i}+\frac{\partial y}{\partial w}\mathbf{j}
+\frac{\partial z}{\partial w}\mathbf{k}\right)\nonumber\\
&=& u'(t)\mathbf{r}_u + v'(t)\mathbf{r}_v + w'(t)\mathbf{r}_w.\nonumber
\end{array}\end{split}\]
Koska koordinaatisto on ortogonaalinen, niin tämän vektorin pituuden neliö saadaan laskemalla
kunkin kolmen vektorin pituuksien neliöt yhteen. Vaadittu lopputulos saadaan ottamalla huomioon
venytyssuhteiden määritelmät \(h_u=\|\mathbf{r}_u\|\) jne.