\[\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bff}{\mathbf{f}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bi}{\mathbf{i}}
\newcommand{\bj}{\mathbf{j}}
\newcommand{\bk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bo}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\bzero}{\mathbf{0}}
\newcommand{\nv}{\mathbf{0}}
\newcommand{\cA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\cD}{\mathcal{D}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\cG}{\mathcal{G}}
\newcommand{\cH}{\mathcal{H}}
\newcommand{\cI}{\mathcal{I}}
\newcommand{\cJ}{\mathcal{J}}
\newcommand{\cK}{\mathcal{K}}
\newcommand{\cL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\cM}{\mathcal{M}}
\newcommand{\cN}{\mathcal{N}}
\newcommand{\cO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\cP}{\mathcal{P}}
\newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}}
\newcommand{\cR}{\mathcal{R}}
\newcommand{\cS}{\mathcal{S}}
\newcommand{\cT}{\mathcal{T}}
\newcommand{\cU}{\mathcal{U}}
\newcommand{\cV}{\mathcal{V}}
\newcommand{\cW}{\mathcal{W}}
\newcommand{\cX}{\mathcal{X}}
\newcommand{\cY}{\mathcal{Y}}
\newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}}
\newcommand{\rA}{\mathrm{A}}
\newcommand{\rB}{\mathrm{B}}
\newcommand{\rC}{\mathrm{C}}
\newcommand{\rD}{\mathrm{D}}
\newcommand{\rE}{\mathrm{E}}
\newcommand{\rF}{\mathrm{F}}
\newcommand{\rG}{\mathrm{G}}
\newcommand{\rH}{\mathrm{H}}
\newcommand{\rI}{\mathrm{I}}
\newcommand{\rJ}{\mathrm{J}}
\newcommand{\rK}{\mathrm{K}}
\newcommand{\rL}{\mathrm{L}}
\newcommand{\rM}{\mathrm{M}}
\newcommand{\rN}{\mathrm{N}}
\newcommand{\rO}{\mathrm{O}}
\newcommand{\rP}{\mathrm{P}}
\newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}}
\newcommand{\rR}{\mathrm{R}}
\newcommand{\rS}{\mathrm{S}}
\newcommand{\rT}{\mathrm{T}}
\newcommand{\rU}{\mathrm{U}}
\newcommand{\rV}{\mathrm{V}}
\newcommand{\rW}{\mathrm{W}}
\newcommand{\rX}{\mathrm{X}}
\newcommand{\rY}{\mathrm{Y}}
\newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}}
\newcommand{\pv}{\overline}
\newcommand{\iu}{\mathrm{i}}
\newcommand{\ju}{\mathrm{j}}
\newcommand{\im}{\mathrm{i}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\real}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\imag}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}}
\newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}}
\DeclareMathOperator*{\res}{res}
\newcommand{\re}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}}
\newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}}
\newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{proj}}
\newcommand{\rref}{\operatorname{rref}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
\newcommand{\Span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\vir}{\operatorname{span}}
\renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}}
\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
\newcommand{\geom}{\operatorname{geom}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert}
\newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]}
\newcommand{\piste}{\cdot}
\newcommand{\qedhere}{}
\newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]}
\newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]}
\newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}
\newcommand{\trans}{\mathrm{T}}
\newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}}
\newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}}
\newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}}
\newcommand{\num}[2][]{#2}
\newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}}
\newcommand{\meter}{m}
\newcommand{\metre}{\meter}
\newcommand{\kilo}{k}
\newcommand{\kilogram}{kg}
\newcommand{\gram}{g}
\newcommand{\squared}{^2}
\newcommand{\cubed}{^3}
\newcommand{\minute}{min}
\newcommand{\hour}{h}
\newcommand{\second}{s}
\newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C}
\newcommand{\per}{/}
\newcommand{\centi}{c}
\newcommand{\milli}{m}
\newcommand{\deci}{d}
\newcommand{\percent}{\%}
\newcommand{\Var}{\operatorname{Var}}
\newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}}
\newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}}
\newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}}
\newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}}
\newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}}
\newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}}
\newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}}
\newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}}
\newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}}
\newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}}
\newcommand{\tdist}{\operatorname{t}}
\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}
\newcommand{\oiint}{\unicode{x222F}}\]
Avaruuskulma
Avaruuskulma (solid angle) on tavallisen kulman vastine, joka
kuvaa sitä, kuinka suuren osan kaikista mahdollisista suunnista
jokin kolmiulotteinen kappale tai pinta peittää.
Sijoitetaan katselupiste origoon (0,0,0) ja olkoon tutkittava
joukko \(P\subset\R^3\) origon ulkopuolella. Tällöin joukko \(P\)
voidaan projisioida säteittäin yksikköpallon \(S(1) \subset\R^3\)
pinnalle radiaalisella projektiolla (radial projection)
\[\text{pr} \colon \R^3\setminus \{\overline{0}\} \to S(1),
\ \text{pr}(\mathbf{r}) = \frac{\mathbf{r}}{r}.\]
Joukon \(P\) radiaalinen projektio yksikköpallolle.
Kuviossa joukko \(P\) sijaitsee yksikköpallon ulkopuolella, jolloin kaikki
pisteet projisoituvat sisäänpäin origoa kohti.
Tutkittava joukko voi myös olla kokonaan tai osittain pallon sisäpuolella,
jolloin sisäpuolella olevat pisteet projisoituvat origosta poispäin pallon
pinnalle.
Avaruuskulman yksikkö on steradiaani (lyh. sr), (steradian) joka on dimensioton
kuten radiaanikin, ja jätetään yleensä merkitsemättä. Täysi avaruuskulma
on koko yksikköpallon pinta-ala \(4\pi\).
Steradiaani kuuluu SI-järjestelmän mittayksikköihin.
Avaruuskulman laskeminen on usein hankalaa alkeellisin
menetelmin. Tähän mennessä osaamme käsitellä esimerkiksi
sellaiset tapaukset, joissa joukon \(P\) projektio on
pallokoordinaatistoon liittyvä koordinaattiruutu
\[\varphi_1\le\varphi\le \varphi_2,\ \theta_1\le\theta\le \theta_2,\]
jonka pinta-ala
\[\Omega = (\theta_2- \theta_1) (\cos \varphi_1-\cos\varphi_2)\]
on laskettu esimerkissä 5.5.4. Tämän erikoistapauksena
saadaan mm. pallokalotteja jms. vastaavat avaruuskulmat.
Kolmiulotteisen kappaleen avaruuskulmaan vaikuttaa
ainoastaan kappaleen pinta, ja siitäkin vain origoon
näkyvä ”etupuoli”. Tämän vuoksi riittää tarkastella
avaruuskulmia sellaisille pinnoille, joille
origosta lähtevät säteet leikkaavat pinnan korkeintaan
yhdessä pisteessä. Tarkemmin sanottuna tällainen
pinta \(P\) voidaan parametrisoida yksikäsitteisellä tavalla
pallokoordinaattien avulla muodossa
\[r=r(\varphi,\theta).\]
Parametrialue koostuu projektiota \(\text{pr}[P]\)
vastaavien kulmien arvoista, mutta seuraavassa esitetään, kuinka
tällaisten pintojen avaruuskulma voidaan laskea (Gaussin lauseen avulla)
pintaintegraalina suoraan pinnalla \(P\) ilman projektioita!
Lause 8.4.2
Olkoon \(P\subset \R^3\) säännöllinen pinta, jonka reuna \(\partial P\)
on paloittain sileä käyrä.
Jos \(\mathbf{n}(\mathbf{r})\cdot \mathbf{e}_r>0\)
jokaisessa pisteessä \(\mathbf{r}\in P\setminus\partial P\), niin
\[\Omega(P)=\iint_P\frac{\mathbf{n}\cdot\mathbf{e}_r}{r^2}\, dS =
\iint_P\frac{\mathbf{n}\cdot\mathbf{r}}{r^3}\, dS.\]
Huomautus 8.4.3
Ehto \(\mathbf{n}(\mathbf{r})\cdot \mathbf{e}_r>0\) estää pinnan
”laskostumisen”(origosta katsottuna). Sitä voitaisiin lieventää
huomattavasti, mutta tämä muotoilu lienee riittävä kaikkien käytännön
sovullusten kannalta.
Piilota/näytä todistus
Merkintöjen yksinkertaistamiseksi oletetaan, että pinta \(P\)
sijaitsee yksikköpallon ulkopuolella. (Tähän tilanteeseen
päästään sopivan homotetian \(\mathbf{r}\mapsto c\,\mathbf{r}\) (skaalaus
vakiolla \(c>1\)) avulla,
sillä se ei muuta avaruuskulmaa eikä lauseen pintaintegraalia: lauseke
\(1/r^2\) skaalautuu kertoimella \(1/c^2\) ja \(dS\) kertoimella \(c^2\),
jotka kumoavat toisensa.
Toinen vaihtoehto on käyttää seuraavassa päättelyssä yksikköpallon
sijasta pientä \(r_0\)-säteistä palloa, jonka ulkopuolella pinta \(P\)
sijaitsee.).
Sovelletaan Gaussin lausetta radiaaliseen vektorikenttään
(1)\[ \mathbf{F}(\mathbf{r})=\frac{1}{r^3}\br=\frac{1}{r^2}\mathbf{e}_r\]
katkaistussa kartiossa \(K\), jonka (kärki on origossa,) sisäpintana on
yksikköpallon joukko \(\text{pr}[P]\) ja ulkopintana alkuperäinen pinta \(P\);
edellä olevassa kuviossa kappale \(K\) sijaitsee siis keltaisten pintojen
välissä.
Suoralla laskulla (tai paljon helpommin käyttämällä kurssin viimeisellä
viikolla vastaan tulevaa radiaalisen vektorikentän nabla-kaavaa
\[\nabla\cdot f(r)\mathbf{e}_r = f'(r)+\frac{2}{r}f(r).\]
)
nähdään, että \(\nabla\cdot \mathbf{F}=0\) alueessa \(r>0\). Joukon
\(K\) reuna jakaantuu kolmeen osaan:
\[\partial K =\text{pr}[P]\cup P\cup V,\]
jossa \(V\) on katkaistun kartion vaippa. Pinnan \(\text{pr}[P]\) normaaliksi valitaan
\(-\mathbf{e}_r\), sillä Gaussin lauseessa normaalin täytyy osoittaa
joukosta \(K\) ulospäin. Koska \(\mathbf{F}\) on radiaalinen vektorikenttä,
niin kartion vaipalla \(V\) on \(\mathbf{F}\perp\mathbf{n}\), ja
Gaussin lauseen avulla saadaan
\[\begin{split}\begin{array}{rcl}
0&=& \iiint_K\nabla\cdot \mathbf{F}\, dV
=\oiint_{\partial K}\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\, dS\nonumber\\
&=&-\iint_{\text{pr}[P]}\underbrace{\mathbf{F}\cdot \mathbf{e}_r}_{=1}\, dS
+\iint_{P}\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\, dS
+\iint_{V}\underbrace{\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}}_{=0}\, dS\nonumber \\
&=& -\Omega (P) +\iint_{P}\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\, dS,\nonumber,
\end{array}\end{split}\]
josta lauseen yhtälö seuraa.
Esimerkki 8.4.4
Kuinka suuressa avaruuskulmassa näkyy 1-säteinen ympyrän muotoinen levy,
kun sitä katsotaan levyn keskinormaalilta 5 metrin päästä?
Piilota/näytä ratkaisu
Tehtävässä tarvitaan joko koordinaattiruudun avaruuskulmakaavaa
tai pallokalotin pinta-alakaavaa sekä alkeisgeometriaa. Yksityiskohdat
luennolla/laskuharjoituksissa.
Esimerkki 8.4.5
Kuinka suuressa avaruuskulmassa ympyrän muotoinen liikennemerkki
\[P=\{ (x,y,z)\in\R^3\mid (y-3)^2+z^2\le 1,\ x=4\}\]
näkyy origosta katsottuna?
Piilota/näytä ratkaisu
Koska merkin keskipiste \((4,3,0)\) ei sijaitse \(x\)-kaselilla,
niin tilanteesta puuttuu tarvittava symmetria, jotta sen voisi palauttaa
edellisen esimerkin tapaukseen. Käytetään siis avaruuskulman laskukaavaa.
Pintaa \(P\) katsotaan origosta, joten täytyy valita \(\mathbf{n}=\mathbf{i}\).
Avaruuskulmakaavan integraalin osoittajassa on siis \(\mathbf{r}\cdot\mathbf{n}=x=4\).
Lisäksi
\[r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} = \sqrt{4^2+(3+s\cos \theta)^2+s^2\sin^2\theta}
= \sqrt{25+6s\cos\theta +s^2},\]
kun pinta parametrisoidaan \(yz\)-tason napakoordinaattien avulla muodossa
\[x=4, \quad y = 3+s\cos\theta, \quad z=s\sin \theta,\quad
0 \le s \le 1, \quad 0 \le \theta \le 2\pi.\]
Avaruuskulma saadaan siis integraalista
\[\Omega = \int_0^{2\pi}\int_0^1 \frac{4s}{(25+6s\cos\theta +s^2)^{3/2}}\, ds\, d\theta
\approx 0{,}10;\]
tässä osoittajan \(s\) on napakoordinaatiston pinta-alan suurennussuhde. Sisemmän
integraalin voi laskea ohjelmistolla, mutta lopputulos täytyy laskea numeerisesti.
Laskut Maplella. ’Int’ on ns. hidastettu käsky, joka säästää (!) laskenta-aikaa,
kun ei yritetä (turhaan) laskea tarkkaa arvoa, ja % viittaa edellisen käskyn tulokseen.
Esimerkki 8.4.6
Kuinka suuressa avaruuskulmassa neliö
\[N_1=\{ (x,y,z)\mid 0\le x\le 1,\ 0\le y\le 1,\ z=1\}\]
näkyy origosta katsottuna? Montako prosenttia se peittää
täydestä avaruuskulmasta \(4\pi\)?
Vastauksen voi päätellä symmetrian perusteella tai käyttää
pintaintegraalia.
Kuinka suuressa avaruuskulmassa suorakulmio
\[N_2=\{ (x,y,z)\mid 0\le x\le 1,\ 0\le y\le 2,\ z=1\}\]
näkyy origosta katsottuna? Montako prosenttia se peittää
täydestä avaruuskulmasta \(4\pi\)?
Vihje: Nyt avaruuskulma \(\Omega\) täytyy laskea pintaintegraalin
avulla. Integroinnissa voi käyttää Maplea tms.