\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\oiint}{\unicode{x222F}}\]

Stokesin lause¶

(George Gabriel Stokes 1819–1903)

Lause 8.2.1 (Stokesin lause)

Jos \(P\) on suunnattu kolmioitu pinta, jonka reuna \(\partial P\) koostuu umpinaisista käyristä, niin

\[\int_{\partial P} {\bf F} \cdot {\bf dr} = \iint_P (\nabla \times {\bf F}) \cdot {\bf n}\, dS,\]

kun yksikkönormaalin \({\bf n}\) ja reunakäyrien \(\partial P\) suunnat valitaan oikean käden säännön mukaisesti.

Ennen lauseen todistusta esitetään muutamia tarkennuksia ja huomioita.

Oikean käden sääntö: Kun oikealla kädellä tartutaan reunakäyrästä siten, että peukalo osoittaa käyrän positiiviseen suuntaan, niin muut sormet osoittavat (pinnan läpi) yksikkönormaalin suuntaan.
Periaatteessa riittää, että lauseke \(\nabla \times \mathbf{F}\) on määritelty vain pinnan \(P\) pisteissä, mutta käytännössä osittaisderivaattojen määrittelyn vuoksi täytyy olettaa, että \(\mathbf{F}\) on määritelty ja sileä jossakin pinnan \(P\) avoimessa ympäristössä. Tällainen joukko on esimerkiksi

\[\bigcup_{\mathbf{x}\in P} B(\mathbf{x},\varepsilon),\ \varepsilon>0,\]

joka koostuu kaikista niistä avaruuden pisteistä, joiden etäisyys pinnasta \(P\) on alle \(\varepsilon\). Sen sijaan ei pidä olettaa, että \(\mathbf{F}\) on määritelty koko avaruudessa.
Stokes \(\Rightarrow\) Green: Jos \(D\subset\mathbf{R}^2\) ja 2-ulotteinen vektorikenttä \(\mathbf{F}\colon D\to\mathbf{R}^2\) tulkitaan 3-ulotteiseksi asettamalla \(F_3=0\), niin

\[\nabla \times \mathbf{F} = \left(\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\right) \mathbf{k}.\]

Kun Stokesin lausetta sovelletaan pintaan \(P=D\times \{ 0\}\subset \mathbf{R}^3\), jonka yksikkönormaali on \(\mathbf{k}\), niin tuloksena on Greenin tasokaava alueessa \(D\). Tätä ei voi kuitenkaan käyttää Greenin kaavan todistamiseen, koska (ainakin tällä kurssilla) Stokesin lause todistetaan Greenin kaavan avulla.
Jos \(P\) on umpinainen pinta, eli \(\partial P=\emptyset\), niin vasemman puolen viivaintegraali on nolla. Stokesin lauseesta seuraa siis, että pyörteisyyden vuo umpinaisen pinnan läpi on aina nolla. Jos vektorikenttä \(\mathbf{F}\) on määritelty ja riittävän sileä myös umpinaisen pinnan \(P\) sisään jäävässä joukossa \(D\), niin tämä Stokesin lauseen erikoistapaus seuraa myös Gaussin lauseesta ja nabla-kaavasta \(\nabla\cdot(\nabla \times \mathbf{F})=0\):

\[\iint_P (\nabla \times {\bf F}) \cdot {\bf n}\, dS = \iiint_D \nabla\cdot(\nabla \times {\bf F})\, dV =0.\]

Oheislukemista:

Piilota/näytä todistus

Stokesin lauseen todistus.

Vaihe 1. Palautetaan tilanne tapaukseen, jossa pinta on parametrisoitu vain yhden kolmion avulla. Yleinen tapaus seuraa vaiheittain, jos selvitetään, miten Stokesin lauseesta yhdelle kolmiolle seuraa kahden kolmion tapaus. Tätä tilannetta havainnollistaa alla oleva kuva.

Kuvan pinta \(P=P_1\cup P_2\) koostuu kahdesta yhteen liimatusta osasta, jotka on parametrisoitu monikulmion \(M=\Delta_1\cup \Delta_2\) avulla. Jos Stokesin lause on voimassa erikseen pinnoille \(P_1\) ja \(P_2\), niin se pätee myös pinnalle \(P\):

\[\begin{split}\begin{array}{rcl} \int_{\partial P} {\bf F} \cdot {\bf dr} &=& \int_{\partial P_1} {\bf F} \cdot {\bf dr}+\int_{\partial P_2} {\bf F} \cdot {\bf dr}\nonumber\\ &=& \iint_{P_1} (\nabla \times {\bf F}) \cdot {\bf n}_1\, dS+ \iint_{P_2} (\nabla \times {\bf F}) \cdot {\bf n}_2\, dS\nonumber\\ &=& \iint_P (\nabla \times {\bf F}) \cdot {\bf n}\, dS.\nonumber \end{array}\end{split}\]

Tässä ensimmäinen yhtälö seuraa siitä, että pintojen reunojen yhteisellä osalla \(\partial P_1\cap \partial P_2\) viivaintegraalit lasketaan vastakkaisiin suuntiin ja ne kumoutuvat. Sama ilmiö toistuu myös siinä tilanteessa, jossa kahden eri kolmion reunajanat liimataan yhteen kolmioidun pinnan vaatimusten mukaisesti; vertaa esimerkiksi sylinteripinnan esitykseen kolmioituna pintana esimerkissä 8.1.4.

Vaihe 2. Todistetaan Stokesin lause pinnalle, joka on parametrisoitu vain yhden kolmion avulla. Tällöin yksikkönormaali \(\mathbf{n}\) on jatkuva pinnalla \(P\). Käsitellään seuraavassa vain tapaus, jossa pinta voidaan tulkita kahden muuttujan funktion kuvapintana muodossa \(z=g(x,y)\), kun \(\Delta\subset\R^2\) ja \(g\colon\Delta \to \R\) on jatkuvasti derivoituva.

Pinnalla \(z=g(x,y)\) on

\[\mathbf{N} = -g_x\,\bi-g_y\,\bj+\bk,\]

ja yhtälön (1) perusteella \(\mathbf{n}\, dS = \mathbf{N}\, dA=\mathbf{N}\, dx\, dy\). Stokesin lauseen pintaintegraaliksi saadaan siis

(1)¶\[\iint_P (\nabla \times {\bf F}) \cdot {\bf n}\, dS =\iint_{\Delta} \biggl( g_x\left(\frac{\partial F_2}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial y}\right) +g_y\left(\frac{\partial F_3}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial z}\right) +\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y} \biggr) dx\, dy.\]

Täytyy siis osoittaa, että Stokesin kaavan viivaintegraali johtaa samaan tulokseen. Tarkastellaan aluksi lauseketta

\[\mathbf{F} \cdot\mathbf{dr} = F_1\, dx+F_2\, dy+F_3\, dz\]

pinnan reunakäyrällä \(\partial P\). Koska \(z=g(x,y)\), niin intuitiivisesti näyttää selvältä (Tarkempi perustelu: Jos kolmion reuna \(\partial\Delta\) on parametrisoitu muodossa \(x=x(t),\ y=y(t)\), \(a\le t\le b\), niin pinnan reunalla \(\partial P\) on samalla välillä parametrisointi \(x=x(t),\ y=y(t),\ z=g(x(t),y(t))\), joten symbolisilla (mutta täsmällisesti määritellyillä!) merkinnöillä

\[dz=\frac{d}{dt}g(x(t),y(t))\, dt = (g_xx'(t)+g_yy'(t))\, dt = g_x\, dx+g_y\, dy.\]

), että \(dz=g_x\, dx+g_y\, dy\). Näin ollen

(2)¶\[\begin{split}\begin{array}{rcl} \oint_{\partial P} \mathbf{F} \cdot\mathbf{dr} &=& \oint_{\partial \Delta}(F_1+g_xF_3)\, dx +(F_2+g_yF_3)\, dy \nonumber\\ &=&\iint_{\Delta}\left(\frac{\partial (F_2+g_yF_3)}{\partial x} - \frac{\partial (F_1+g_xF_3)}{\partial y}\right) dx\,dy \end{array}\end{split}\]

Greenin kaavan perusteella. Ennen osittaisderivaattojen laskemista täytyy muistaa, että integraalissa \(z=g(x,y)\), joten

\[\begin{split}\begin{cases} F_1=F_1(x,y,g(x,y)), &\\ F_2=F_2(x,y,g(x,y)) \text{ ja} &\\ F_3=F_3(x,y,g(x,y)). &\\ \end{cases}\end{split}\]

Näin ollen

\[\begin{split}\begin{cases} \displaystyle{\frac{\partial }{\partial y} F_1(x,y,g(x,y))= \frac{\partial F_1}{\partial y}+\frac{\partial F_1}{\partial z}\frac{\partial g}{\partial y} = \frac{\partial F_1}{\partial y}+\frac{\partial F_1}{\partial z}g_y} \phantom{\left( \int\right)}& \\ \displaystyle{\frac{\partial }{\partial x} F_2(x,y,g(x,y))= \frac{\partial F_2}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial z}\frac{\partial g}{\partial x} =\frac{\partial F_2}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial z}g_x} \phantom{\left( \int\right)}& \\ \displaystyle{\frac{\partial }{\partial x} F_3(x,y,g(x,y))= \frac{\partial F_3}{\partial x}+\frac{\partial F_3}{\partial z}\frac{\partial g}{\partial x} = \frac{\partial F_3}{\partial x}+\frac{\partial F_3}{\partial z}g_x} \phantom{\left( \int\right)}& \\ \displaystyle{\frac{\partial }{\partial y} F_3(x,y,g(x,y))= \frac{\partial F_3}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}\frac{\partial g}{\partial y} = \frac{\partial F_3}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}g_y.} & \\ \end{cases}\end{split}\]

Näillä eväillä voidaan laskea auki kaavan (2) osittaisderivaatat, joista saadaan yhteensä 10 termiä. Näistä lausekkeet \(g_{yx}F_3\) ja \(-g_{xy}F_3\) sekä \(\displaystyle{g_yg_x\frac{\partial F_3}{\partial z}}\) ja \(\displaystyle{-g_xg_y\frac{\partial F_3}{\partial z}}\) kumoavat toisensa, jolloin jäljelle jää kuusi termiä. Vertaamalla todetaan, että ne ovat täsmälleen samat kuin kaavan (1) kuusi termiä. Kaava on siis kokonaan todistettu funktion kuvapinnan tapauksessa. Yleisen parametrisoinnin \(x=x(u,v)\), \(y=y(u,v)\), \(z=z(u,v)\) kohdalla todistuksen periaate ja kaikki välivaiheet ovat samantapaiset, mutta lausekkeet ovat vielä jonkin verran edellistä monimutkaisempia.

Huomautus 8.2.2

Yllä olevasta todistuksesta näkyy osittaisderivaattamerkintöjen ongelmallisuus. Helposti voisi ajatella, että \(\displaystyle{\frac{\partial}{\partial y}F_1 = \frac{\partial F_1}{\partial y}}\), mutta tämä ei päde, jos lausekkeissa on erilaisia sisäfunktioita. Vasemman puolen lauseke \(\frac{\partial}{\partial y}F_1\) tarkoittaa kahden muuttujan funktion \(f(x,y)=F_1(x,y,g(x,y))\) osittaisderivaattaa \(f_y\) muuttujan \(y\) suhteen, mutta oikean puolen lauseke \(\frac{\partial F_1}{\partial y}\) on kolmen muuttujan funktion \(F_1=F_1(x,y,z)\) osittaisderivaatta, johon on derivoinnin jälkeen sijoitettu \(z=g(x,y)\). Jos sisäfunktioiden lausekkeita ei kirjoiteta näkyviin ennen derivointia, niin lasku menee helposti väärin tai ainakin sitä on lähes mahdotonta seurata.

Todetaan vielä lopuksi, että kahden muuttujan funktioiden kohdalla sekaannuksen vaara on paljon pienempi derivaattojen erilaisten merkintöjen vuoksi:

\[\frac{d}{dx} f(x,g(x)) = \frac{\partial f}{\partial x}+ \frac{\partial f}{\partial y}g'(x)\]

tulee ilman sisäfunktioita muotoon

\[\frac{d f}{dx}= \frac{\partial f}{\partial x}+ \frac{\partial f}{\partial y}g'(x),\]

joka näyttää paremmalta kuin vastaava kolmiulotteinen versio yllä.

Esimerkki 8.2.3

Laske viivaintegraali

\[\oint_C\mathbf{F}\cdot \mathbf{dr},\]

kun

\[C=\{ (x,y,z)\in\R^3\mid x=\cos t,\ y=\sin t,\ z=\sin t,\ 0\le t\le 2\pi\}\]

\[\mathbf{F}(x,y,z)=e^x\,\bi -\sin y\, \bj+yx^2\, \bk.\]

Piilota/näytä ratkaisu

Viivaintegraalin laskeminen suoraan määritelmää käyttämällä näyttää hankalalta, joten voidaan yrittää käyttää Stokesin lausetta. Ongelmana on se, että tehtävässä ei ole annettu mitään Stokesin lauseessa esiintyvää pintaa \(P\), vaan ainoastaan sen reunakäyrä \(C\). Tarvittava pinta täytyy siis muodostaa itse niin, että lasku onnistuu.

Parametrisointia tarkastelemalla huomataan, että käyrällä \(C\) on voimassa \(y=z\), \(x^2+y^2=1\) ja

\[x^2+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{2} = 1.\]

Kahden ensimmäisen yhtälön perusteella käyrä \(C\) syntyy tason ja sylinterin leikkauksena, joten se on ellipsi. Tämän ellipsin rajaama alue tasosta \(y=z\) sopii myös hyvin (Toinen vaihtoehto olisi käyttää viimeisen yhtälön määräämää ellipsoidipintaa, mutta laskut menevät hankaliksi.) pinnaksi \(P\), jonka esitys on muotoa

\[P=\{ (x,y,z)\in\R^3 \mid x^2+y^2\le 1,\ z=y\},\]

eli funktion \(f(x,y)=y\) kuvaaja yksikkökiekossa \(D\colon x^2+y^2\le 1\).

Stokesin lauseen mukaan

\[\int_{\partial P} {\bf F} \cdot {\bf dr} = \iint_P (\nabla \times {\bf F}) \cdot {\bf n}\, dS,\]

joten lasketaan aluksi

\[\begin{split}\nabla \times {\bf F} = \left| \begin{matrix} {\bf i} &{\bf j} & {\bf k} \\ D_1 & D_2 & D_3 \\ e^x & -\sin y & yx^2\\ \end{matrix} \right| = x^2\, \bi -2xy\, \bj.\end{split}\]

Pinnan \(P\) normaaliksi saadaan

\[\mathbf{N}= -f_x\bi-f_y\bj+\bk = -\bj+\bk,\]

joten sen yksikkönormaali on

\[\mathbf{n}= \frac{1}{\sqrt{2}}( -\bj+\bk ).\]

Tätä ei kuitenkaan tarvita, jos oikaistaan yhtälöä (1) käyttämällä:

\[\begin{split}\begin{array}{rcl} (\nabla \times {\bf F})\cdot \mathbf{n}\, dS &=&(\nabla \times {\bf F})\cdot \mathbf{N}\, dA\nonumber\\ &=& (x^2\, \bi -2xy\, \bj)\cdot (-\bj+\bk)\, dA = 2xy\, dA.\nonumber \end{array}\end{split}\]

Näin saadaan

\[\int_{\partial P} {\bf F} \cdot {\bf dr}= 2\iint_D xy\, dA = 0,\]

koska integroitava funktio \(xy\) on esimerkiksi \(y\)-akselin suhteen symmetrisessä joukossa \(D\) pariton muuttujan \(x\) suhteen: \(f(-x,y)= -f(x,y)\).

Lopuksi on syytä todeta, että tehtävä on hieman puutteellisesti asetettu, koska käyrän \(C\) positiivinen suunta näkyy vain implisiittisesti sen määritelmässä, mutta voidaan erikseen tarkistaa, että ylänormaalin \(\mathbf{N}\) käyttäminen on oikea valinta. Toisaalta viivaintegraalin arvo on nolla, joten suunnilla ei ole vaikutusta lopputulokseen.