\[\begin{split}\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bbf}{\mathbf{f}}
\newcommand{\bF}{\mathbf{F}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bi}{\mathbf{i}}
\newcommand{\bj}{\mathbf{j}}
\newcommand{\bk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bo}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bR}{\mathbf{R}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\re}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\bA}{\mathbf{A}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\dist}{\operatorname{d}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{proj}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
\newcommand{\Span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\row}{\operatorname{row}}
\newcommand{\col}{\operatorname{col}}
\newcommand{\Null}{\operatorname{null}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\piste}{\boldsymbol{\cdot}}
\newcommand{\kappale}{\newline \hspace{17pt}}
\newcommand{\kohta}[1]{\textbf{#1)}\hspace{5px}}
\newcommand{\kohtav}[1]{\hspace{7pt}\textbf{#1)}\hspace{5px}}
\newcommand{\tilaa}{\vspace{7pt}\\}
\newcommand{\bigfrac}[2]{{\displaystyle{\frac{#1}{#2}}}}
\newcommand{\smallfrac}[2]{{\textstyle{\frac{#1}{#2}}}}
\newcommand{\xn}[2]{(#1_1,#1_2,\ldots,#1_{#2})}
\newcommand{\vastaus}[1]{\null\hfill({\footnotesize#1})}
\newcommand{\mathvastaus}[1]{\eqno{\mbox{({\footnotesize#1})}}}
\newcommand{\ep}[1]{\textnormal{ (\cite[#1]{ep})}}
\newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]}
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}}
\newcommand{\qedhere}{}\end{split}\]
Tasointegraalin laskeminen napakoordinaateilla
Tason \(\R^2\) piste \((x,y)\) voidaan ilmaista napakoordinaattien (polar coordinates) \(r\) (etäisyys origosta) ja \(\theta\) (kulma positiivisesta \(x\)-akselista vastapäivään) avulla. Kosinin ja sinin määritelmien mukaan kulmaa \(\theta\) vastaava kehäpiste yksikköympyrällä on \((\cos\theta,\sin\theta)\), joten \(r\)-säteisellä ympyrällä kehäpiste on \((x,y)=r(\cos\theta,\sin\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta)\).
\(x\)- ja \(y\)-koordinaattien ja napakoordinaattien \(r\) ja \(\theta\) välinen riippuvuus on siis
(1)\[\begin{split}\boxed{\begin{aligned}
x&=r\cos\theta\\
y&=r\sin\theta
\end{aligned}}\end{split}\]
Tapauksessa \(0<\theta<\pi/2\) riippuvuudet voidaan lukea myös seuraavan kuvan suorakulmaisesta kolmiosta:
Käänteiseen suuntaan kaavat (1) voidaan kirjoittaa
(2)\[\begin{split}\boxed{\begin{aligned}
r&=\sqrt{x^2+y^2}\\
\tan\theta&=\bigfrac{y}{x}\quad(\text{kun }x\ne0)
\end{aligned}}\end{split}\]
Jälkimmäisestä voidaan laskea suoraan \(\theta=\arctan(y/x)\) silloin, kun \(-\pi/2<\theta<\pi/2\). Muissa tapauksissa kulman osuminen oikeaan neljännekseen tulee erikseen pohtia. \(\theta\) ei ole yksikäsitteinen, sillä kiinnitetyllä \(r\) kulmat \(\theta+n2\pi\) (\(n\in\Z\)) vastaavat samaa pistettä. Tilanteesta ja sovelluksesta riippuen \(\theta\) on tapana valita väliltä \([0,2\pi]\) tai \([-\pi,\pi]\).
Riemannin summa (1) voidaan kirjoittaa
\[\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^nf(x_{ij}^*,y_{ij}^*)a(R_{ij}),\]
missä \(a(R_{ij})\) on \(R_{ij}\):n pinta-ala. Integroimisjoukon \(R\) ja joukkojen \(R_{ij}\) ei tarvitse olla suorakulmioita. Tarkastellaan esimerkiksi kuvan mukaista joukkoa \(R\), joka koostuu napakoordinaateissa ilmaistuna pisteistä \(a\le r\le b\), \(\alpha\le\theta\le\beta\).
Valitaan välin \([a,b]\) jako
\[a=r_0<r_1<\cdots<r_m=b\]
ja välin \([\alpha,\beta]\) jako
\[\alpha=\theta_0<\theta_1<\cdots<\theta_n=\beta.\]
Nyt \(R\) jakautuu kuvan mukaisiin osajoukkoihin \(R_{ij}\), jotka koostuvat napakoordinaateissa ilmaistuna pisteistä \(r_{i-1}\le r\le r_i\), \(\theta_{j-1}\le\theta\le\theta_j\). Merkitään \(\Delta r_i=r_{i-1}-r_i\) ja \(\Delta\theta_j=\theta_{j-1}-\theta_j\) ja valitaan pisteet \((x_{ij}^*,y_{ij}^*)=(r_{ij}^*\cos(\theta_{ij}^*),r_{ij}^*\sin(\theta_{ij}^*))\in R_{ij}\).
Kun \(\Delta\theta_j\) ja \(\Delta r_i\) ovat pieniä, niin \(R_{ij}\) on oleellisesti suorakulmio, jolloin sen pinta-alaa voidaan arvioida \(a(R_{ij})\approx r_{i-1}\,\Delta\theta_j\,\Delta r_i\) (eli kanta \(\times\) korkeus). Siten
\[\begin{aligned}
\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^nf(x_{ij}^*,y_{ij}^*)a(R_{ij})
\approx\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^nf(r_{ij}^*\cos(\theta_{ij}^*),r_{ij}^*\sin(\theta_{ij}^*))r_{i-1}\,\Delta r_i\,\Delta\theta_j.
\end{aligned}\]
Tämän yhtälön vasen puoli on integraaliin
\[\iint_Rf(x,y)\,dx\,dy\]
liittyvä Riemannin summa ja oikea puoli integraaliin
\[\int_\alpha^\beta\int_a^bf(r\cos(\theta),r\sin(\theta))r\,dr\,d\theta\]
liittyvä Riemannin summa. Jaon tihentyessä edellä tehty arvio ”\(\approx\)” paranee, joten olemme saaneet perusteltua:
(3)\[\iint_Rf(x,y)\,dx\,dy=\int_\alpha^\beta\int_a^bf(r\cos\theta,r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta.\]
Integraalissa (3) \(r\) on pinta-alan suurennussuhde:
kuvajoukon pinta-ala on \(r\)-kertainen pinta-alaan \(\Delta\theta\,\Delta r\) verrattuna. Palataan suurennussuhteeseen vielä luvussa ??. Tulos (3) pätee yleisempiinkin joukkoihin:
Lause 7.4.1
Olkoon \(R\subset\R^2\) tasojoukko, joka koostuu niistä pisteistä, joille napakoordinaateissa \((r,\theta)\) ilmaistuna pätee \(\alpha\le\theta\le\beta\) ja \(r_1(\theta)\le r\le r_2(\theta)\), missä \(r_1\) ja \(r_2\) ovat jatkuvia funktioita. Jos \(f\colon R\to\R\) on jatkuva, niin \(f\) on integroituva ja
(4)\[\iint_Rf(x,y)\,dx\,dy=\int_\alpha^\beta\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta.\]
Esimerkki 7.4.2
Olkoon \(R=\{(x,y)\in\R^2:\ 1\le x^2+y^2\le4,\ x\ge0,\ y\ge0\}\). Laske
\[\iint_Rxy\,dx\,dy.\]
Piilota/näytä ratkaisu
\(R\) on joukko, jonka pisteille napakoordinaateissa ilmaistuna pätee \(1\le r\le2\) ja \(0\le\theta\le\pi/2\).
\[\begin{split}\begin{aligned}
\iint_Rxy\,dx\,dy
&=\int_0^{\pi/2}\int_1^2r\cos\theta\cdot r\sin\theta\cdot r\,dr\,d\theta
=\int_0^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta\sij{1}{2}\frac14r^4\,d\theta\\
&=\frac{15}{4}\int_0^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta\,d\theta
=\frac{15}{4}\sij{0}{\pi/2}\frac12\sin^2\theta=\frac{15}{8}.
\end{aligned}\end{split}\]
Huomautuksen 7.2.4 mukaan voitaisiin myös separoida ja kirjoittaa suoraan
\[\iint_Rxy\,dx\,dy=\left(\int_0^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta\,d\theta\right)
\left(\int_1^2r^3\,dr\right)=\cdots\]
Esimerkki 7.4.3
Laske paraboloidin \(z=4-x^2-y^2\) ja \(xy\)-tason väliin jäävän rajoitetun joukon \(T\) tilavuus.
Piilota/näytä ratkaisu
Paraboloidi avautuu alaspäin ja \(z\)-koordinaattia rajaa ehto
\(z=4-x^2-y^2\ge0\ \Leftrightarrow\ x^2+y^2\le4\). Niinpä \(T\):n projektio \(xy\)-tasolle on \(2\)-säteinen origokeskinen kiekko
\[\begin{split}\begin{aligned}
R&=\{(x,y)\in\R^2:\ x^2+y^2\le4\}\\
&=\{(x,y)\in\R^2:\ -2\le x\le2,\ -\sqrt{4-x^2}\le y\le\sqrt{4-x^2}\}
\end{aligned}\end{split}\]
ja kysytty tilavuus on siten
\[v(T)=\iint_R\left(4-x^2-y^2\right)\,dx\,dy.\]
\(xy\)-koordinaateissa integroinnista tulisi hankala:
\[v(T)=\int_{-2}^2\int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}\left(4-x^2-y^2\right)\,dy\,dx.\]
Napakoordinaateissa \(R\):n rajat ovat \(0\le r\le2\) ja \(0\le\theta\le2\pi\) ja koska \(x^2+y^2=r^2\), niin
\[\begin{split}\begin{aligned}
v(T)&=\int_0^{2\pi}\int_0^2(4-r^2)r\,dr\,d\theta
=\left(\int_0^{2\pi}\,d\theta\right)\left(\int_0^2(4-r^2)r\,dr\right)\\
&=2\pi\int_0^2(4r-r^3)\,dr
=2\pi\sij{0}{2}\left(2r^2-\frac{r^4}{4}\right)
=8\pi.
\end{aligned}\end{split}\]
Huomautus 7.4.4
Pallopinta ja sylinteripinta.
Olkoon \(a>0\). Joukon
\[S=\left\{(x,y,z)\in\R^3:\ x^2+y^2+z^2=a^2\right\}\]
pisteiden \((x,y,z)\) etäisyys origosta on vakio \(a\), joten \(S\) on \(a\)-säteinen pallopinta. Joukossa
\[S=\left\{(x,y,z)\in\R^3:\ x^2+y^2=a^2\right\}\]
etäisyys \(z\)-akselista on vakio \(a\), joten \(S\) on \(a\)-säteinen sylinteripinta.
Joukko
\[T=\left\{(x,y,z)\in\R^3:\ x^2+y^2+z^2\le a^2\right\}\]
koostuu pisteistä, joiden etäisyys origosta on \(\le a\), joten \(T\) on \(a\)-säteinen suljettu pallo. Joukko
\[T=\left\{(x,y,z)\in\R^3:\ x^2+y^2\le a^2\right\}\]
koostuu pisteistä, joiden etäisyys \(z\)-akselista on \(\le a\), joten \(T\) on \(a\)-säteisen sylinteripinnan rajoittama joukko (”umpinainen tanko”).
Esimerkki 7.4.5
Laske sen joukon \(T\) tilavuus, jonka sylinteripinta
\((x-1)^2+y^2=1\) leikkaa pallosta \(x^2+y^2+z^2\le4\).
Piilota/näytä ratkaisu
Ylhäältä positiivisen \(z\)-akselin suunnasta katsottuna leikkaus \(xy\)-tason (\(z=0\)) kanssa näyttää seuraavalta:
On laskettava sylinterijoukon \(\{(x,y,z)\in\R^3:\ (x-1)^2+y^2\le1\}\) sen osan tilavuus, joka on pintojen \(z_1=-\sqrt{4-x^2-y^2}\) ja \(z_2=\sqrt{4-x^2-y^2}\) välissä, ts.
\[\begin{split}\begin{aligned}
v(T)&=\iint_R\left(\sqrt{4-x^2-y^2}-\left(-\sqrt{4-x^2-y^2}\right)\right)\,dx\,dy\\
&=2\iint_R\sqrt{4-x^2-y^2}\,dx\,dy,
\end{aligned}\end{split}\]
missä \(R=\{(x,y)\in\R^2:\ (x-1)^2+y^2\le1\}\). Käytetään napakoordinaatteja. Selvästi \(-\pi/2\le\theta\le\pi/2\) ja kullakin \(\theta\) \(r\):n alaraja on \(0\). \(r\) saavuttaa suurimman arvonsa \(R\):n reunalla, eli kun
\[\begin{aligned}
(x-1)^2+y^2=1
\ \Leftrightarrow\
x^2+y^2=2x
\ \Leftrightarrow\
r^2=2r\cos\theta
\ \mathop{\Leftrightarrow}^{r>0}\
r=2\cos\theta.
\end{aligned}\]
Niinpä
\[\begin{split}\begin{aligned}
v(T)&=2\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_0^{2\cos\theta}\sqrt{4-r^2}\,r\,dr\,d\theta
=4\int_0^{\pi/2}\int_0^{2\cos\theta}\sqrt{4-r^2}\,r\,dr\,d\theta\\
&=4\int_0^{\pi/2}\sij{0}{2\cos\theta}-\frac13(4-r^2)^{3/2}\,d\theta
=-\frac43\int_0^{\pi/2}\bigg(8\mspace{-50mu}\underbrace{(1-\cos^2\theta)^{3/2}}_{\displaystyle(\sin^2\theta)^{3/2}=|\sin\theta|^3=\sin^3\theta}\mspace{-50mu}-8\bigg)\,d\theta\\
&=\frac{32}{3}\int_0^{\pi/2}\left(1-\sin^3\theta\right)\,d\theta
=\frac{32}{3}\left(\int_0^{\pi/2}\,d\theta-\int_0^{\pi/2}\sin^3\theta\,d\theta\right)\\
&=\frac{32}{3}\left(\frac{\pi}{2}-\frac23\right)
=\frac{16\pi}{3}-\frac{64}{9}
\approx9{,}6440,
\end{aligned}\end{split}\]
missä \(\sin^3\theta\):n integraali katsotaan taulukosta tai tietokoneella.