\[\begin{split}\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bF}{\mathbf{F}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bR}{\mathbf{R}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\bA}{\mathbf{A}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\dist}{\operatorname{d}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\row}{\operatorname{row}} \newcommand{\col}{\operatorname{col}} \newcommand{\Null}{\operatorname{null}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\piste}{\boldsymbol{\cdot}} \newcommand{\kappale}{\newline \hspace{17pt}} \newcommand{\kohta}[1]{\textbf{#1)}\hspace{5px}} \newcommand{\kohtav}[1]{\hspace{7pt}\textbf{#1)}\hspace{5px}} \newcommand{\tilaa}{\vspace{7pt}\\} \newcommand{\bigfrac}[2]{{\displaystyle{\frac{#1}{#2}}}} \newcommand{\smallfrac}[2]{{\textstyle{\frac{#1}{#2}}}} \newcommand{\xn}[2]{(#1_1,#1_2,\ldots,#1_{#2})} \newcommand{\vastaus}[1]{\null\hfill({\footnotesize#1})} \newcommand{\mathvastaus}[1]{\eqno{\mbox{({\footnotesize#1})}}} \newcommand{\ep}[1]{\textnormal{ (\cite[#1]{ep})}} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}\end{split}\]

Epäoleelliset tasointegraalit¶

Edellä tasointegraaleissa oletettiin, että integroimisjoukko \(A\) on rajoitettu (eli \(A\) sisältyy johonkin origokeskiseen palloon \(B(\bo,R)\)) ja että funktio \(f\) on rajoitettu (eli on olemassa \(m\) ja \(M\in\R\) siten, että \(m\le f(\bx)\le M\) kaikilla \(\bx\in A\)). Tutkitaan integroituvuutta myös tapauksissa, joissa \(A\) tai \(f\) ei ole rajoitettu.

Rajoittamaton integroimisjoukko¶

Olkoon \(A\subset\R^2\) ”riittävän siisti” rajoittamaton joukko, \(f\colon A\to\R\) rajoitettu funktio ja \(f(x,y)\ge0\) kaikilla \((x,y)\in A\). Valitaan kasvava jono rajoitettuja joukkoja \(A_k\subset A\), jotka tyhjentävät \(A\):n, ts.

(1)¶\[A_1\subset A_2\subset A_3\subset\cdots\quad\text{ja}\quad \bigcup_{k=1}^\infty A_k=A_1\cup A_2\cup A_3\cup\cdots=A.\]

Oletetaan vielä, että \(f\) on integroituva jokaisessa joukossa \(A_k\). Silloin määritellään

\[\boxed{\iint_Af(x,y)\,dx\,dy=\lim_{k\to\infty}\iint_{A_k}f(x,y)\,dx\,dy.}\]

Voidaan osoittaa, että ei-negatiiviselle (tai ei-positiiviselle) \(f\) tämä raja-arvo on aina olemassa joko ei-negatiivisena reaalilukuna (jolloin integraali suppenee) tai lukuna \(\infty\) (jolloin integraali hajaantuu), ja että raja-arvo ei riipu joukkojonon \((A_k)_{k=1}^\infty\) valinnasta.

Esimerkki 7.5.1

Laske

\[I=\iint_A\frac{1}{(1+x^2)(1+y^2)}\,dx\,dy,\]

kun \(A=\{(x,y)\in\R^2:\ x\ge0,\ y\ge0\}\) (ensimmäinen koordinaattineljännes).

Piilota/näytä ratkaisu

Integrandi on selvästi rajoitettu (\(0<f(x,y)\le1\)), mutta \(A\) on rajoittamaton. Valitaan \(A_k=\{(x,y)\in\R^2:\ 0\le x\le k,\ 0\le y\le k\}\).

Nyt

\[\begin{split}\begin{aligned} I&=\lim_{k\to\infty}\iint_{A_k}\frac{1}{(1+x^2)(1+y^2)}\,dx\,dy\\ &=\lim_{k\to\infty}\int_0^k\int_0^k\frac{1}{(1+x^2)(1+y^2)}\,dx\,dy\\ &=\lim_{k\to\infty}\left(\int_0^k\frac{dx}{1+x^2}\right)\left(\int_0^k\frac{dy}{1+y^2}\right)\\ &=\lim_{k\to\infty}\left(\sij{0}{k}\arctan x\right)\left(\sij{0}{k}\arctan y\right) =\frac{\pi}{2}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi^2}{4}. \end{aligned}\end{split}\]

Rajoittamaton funktio¶

Olkoon \(A\subset\R^2\) ”riittävän siisti” rajoitettu joukko, \(f\colon A\to\R\) rajoittamaton funktio ja \(f(x,y)\ge0\) kaikilla \((x,y)\in A\). Valitaan kasvava jono rajoitettuja joukkoja \(A_k\subset A\) siten, että \(f\) on rajoitettu ja integroituva jokaisessa joukossa \(A_k\) ja että joukot \(A_k\) tyhjentävät \(A\):n, ts. (1) pätee. Silloin määritellään

\[\boxed{\iint_Af(x,y)\,dx\,dy=\lim_{k\to\infty}\iint_{A_k}f(x,y)\,dx\,dy.}\]

Voidaan osoittaa, että ei-negatiiviselle \(f\) tämä raja-arvo on aina olemassa joko ei-negatiivisena reaalilukuna tai lukuna \(\infty\), ja että raja-arvo ei riipu joukkojonon \((A_k)_{k=1}^\infty\) valinnasta.

Esimerkki 7.5.2

Laske

\[\iint_A\frac{1}{xy}\,dx\,dy,\]

missä \(A\) on käyrien \(y=x\) ja \(y=x^2\) rajaama joukko.

Piilota/näytä ratkaisu

\(A\) on rajoitettu, mutta integrandi \(f(x,y)\to\infty\), kun \((x,y)\to(0,0)\) joukossa \(A\).

Valitaan \(A_k=\{(x,y)\in\R^2:\ x^2\le y\le x,\ 1/k\le x\le 1\}\). Nyt

\[\begin{split}\begin{aligned} &\iint_{A_k}\frac{1}{xy}\,dx\,dy =\int_{1/k}^1\frac{1}{x}\int_{x^2}^x\frac{1}{y}\,dy\,dx =\int_{1/k}^1\frac{1}{x}\sij{x^2}{x}\ln y\,dx\\ &=\int_{1/k}^1\frac{1}{x}\underbrace{\left(\ln x-\ln(x^2)\right)}_{\displaystyle\ln x-2\ln x=-\ln x}\,dx\\ &=-\frac12\sij{1/k}{1}(\ln x)^2 =-\frac12\left(0-(\ln(1/k))^2\right) \to-\frac12(0-\infty)=\infty, \end{aligned}\end{split}\]

kun \(k\to\infty\). Integraali siis hajaantuu.

Esimerkki 7.5.3

Laske

\[\iint_A\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\,dx\,dy,\]

kun \(A\) on \(1\)-säteinen punkteerattu kiekko:

\(A=\{(x,y)\in\R^2:\ 0<x^2+y^2\le1\}\).

Piilota/näytä ratkaisu

\(A\) on rajoitettu, mutta integrandi \(f(x,y)\to\infty\), kun \((x,y)\to(0,0)\).

Valitaan \(A_k=\{(x,y)\in\R^2:\ 1/k\le x^2+y^2\le1\}\), ts. \(A_k\) on kuvan mukainen rengasalue. Nyt napakoordinaatteja käyttäen

\[\begin{split}\begin{aligned} &\iint_A\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\,dx\,dy =\lim_{k\to\infty}\iint_{A_k}\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\,dx\,dy\\ &=\lim_{k\to\infty}\int_0^{2\pi}\int_{1/k}^1\frac{1}{r}\,r\,dr\,d\theta =\lim_{k\to\infty}\left(\int_0^{2\pi}\,d\theta\right)\left(\int_{1/k}^1\,dr\right)\\ &=\lim_{k\to\infty}2\pi(1-1/k)=2\pi. \end{aligned}\end{split}\]