\[\begin{split}\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bF}{\mathbf{F}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bR}{\mathbf{R}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\bA}{\mathbf{A}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\dist}{\operatorname{d}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\row}{\operatorname{row}} \newcommand{\col}{\operatorname{col}} \newcommand{\Null}{\operatorname{null}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\piste}{\boldsymbol{\cdot}} \newcommand{\kappale}{\newline \hspace{17pt}} \newcommand{\kohta}[1]{\textbf{#1)}\hspace{5px}} \newcommand{\kohtav}[1]{\hspace{7pt}\textbf{#1)}\hspace{5px}} \newcommand{\tilaa}{\vspace{7pt}\\} \newcommand{\bigfrac}[2]{{\displaystyle{\frac{#1}{#2}}}} \newcommand{\smallfrac}[2]{{\textstyle{\frac{#1}{#2}}}} \newcommand{\xn}[2]{(#1_1,#1_2,\ldots,#1_{#2})} \newcommand{\vastaus}[1]{\null\hfill({\footnotesize#1})} \newcommand{\mathvastaus}[1]{\eqno{\mbox{({\footnotesize#1})}}} \newcommand{\ep}[1]{\textnormal{ (\cite[#1]{ep})}} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}\end{split}\]

Tasointegraali projisoituvissa joukoissa¶

Olkoon seuraavaksi \(A\subset\R^2\) mikä tahansa rajoitettu joukko. Koska \(A\) on rajoitettu, niin se sisältyy johonkin suorakulmioon \(R=[a,b]\times[c,d]\).

Jos \(f\colon A\to\R\) on \(A\):ssa määritelty reaaliarvoinen funktio, niin sen nollajatko joukkoon \(R\) on funktio \(f^0\colon R\to\R\),

\[\begin{split}f^0(x,y)=\begin{cases} f(x,y),&\text{jos }(x,y)\in A,\\ 0,&\text{jos }(x,y)\in R\setminus A. \end{cases}\end{split}\]

Määritelmä 7.3.1

Olkoon \(A\subset\R^2\) ja \(A\subset R=[a,b]\times[c,d]\). Rajoitettu funktio \(f\colon A\to\R\) on integroituva joukossa \(A\), jos \(f\):n nollajatko \(f^0\) on integroituva suorakulmiossa \(R\), ja tällöin funktion \(f\) integraali yli joukon :math:`A` on

\[\iint_Af(x,y)\,dx\,dy=\iint_Rf^0(x,y)\,dx\,dy.\]

Integraalille käytetään myös merkintöjä

\[\iint_Af(x,y)\,dA=\iint_Af\,dA=\iint_Af.\]

Toisin sanoen \(f\) on integroituva jos ja vain jos seuraavan yhtälön raja-arvo on olemassa. Tällöin

(1)¶\[\iint_Af(x,y)\,dx\,dy=\lim_{|P|\to0}\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n f^0(x_{ij}^*,y_{ij}^*)\,\Delta x_i\,\Delta y_j.\]

Esimerkki 7.3.2

Lasketaan

\[\iint_B1\,dx\,dy,\]

kun \(B=\overline{B}((0,0),1)\) (eli \(B\) on origokeskinen \(1\)-säteinen suljettu kiekko). Nyt \(f(x,y)=1\). Valitaan \(R=[-1,1]\times[-1,1]\supset B\) ja jaetaan \(R\) tasavälisesti \(n\times n\) osaneliöön \(R_{ij}\). Jos \(R_{ij}\not\subset B\), niin valitaan \((x_{ij}^*,y_{ij}^*)\in R\setminus B\). Silloin \(f(x_{ij}^*,y_{ij}^*)=1\), jos \(R_{ij}\) on kokonaan kiekossa \(B\) ja \(f(x_{ij}^*,y_{ij}^*)=0\) muulloin. Niinpä Riemannin summa on

\[\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^nf(x_{ij}^*,y_{ij}^*)\,\Delta x_i\,\Delta y_j\]

on niiden neliöiden yhteenlaskettu pinta-ala, jotka ovat kokonaan kiekossa \(B\). Mitä tiheämpi jako peittävällä suorakulmiolla on, sitä tarkemmin kiekon sisäpuolelle jäävien osasuorakulmioiden yhteenlaskettu pinta-ala approksimoi kiekon pinta-alaa. Summan raja-arvo lähenee siten kiekon pinta-alaa, kun \(|P|\to0\), eli

\[\iint_B1\,dx\,dy=\pi.\]

Tämä esimerkki motivoi määrittelemään seuraavasti:

Määritelmä 7.3.3

Määritellään, että rajoitetulla joukolla \(A\subset\R^2\) on pinta-ala \(a(A)\), jos vakiofunktio \(1\) on integroituva joukossa \(A\). Tällöin

(2)¶\[a(A)=\iint_A1\,dx\,dy.\]

Esimerkki 7.3.4

Esimerkin joukosta, jolla ei ole pinta-alaa, tarjoaa

\[A=\{(x,y)\in\R^2:\ x\in[0,1]\cap\Q,\ y\in[0,1]\}.\]

\(A\) koostuu neliön \([0,1]\times[0,1]\) pystysuorista janoista, joilla \(x\)-koordinaatti on rationaalinen. Valitaan \(R=[0,1]\times[0,1]\supset A\) ja sille mikä tahansa jako. Jokainen osasuorakulmio \(R_{ij}\) sisältää nyt sekä \(A\):n että \(A\):n komplementin pisteitä, joten jokainen piste \((x_{ij}^*,y_{ij}^*)\) voidaan valita siten, että \((x_{ij}^*,y_{ij}^*)\in A\). Nyt funktiolle \(f\colon A\to\R\), \(f(x,y)=1\), on \(f^0(x_{ij}^*,y_{ij}^*)=1\) ja Riemannin summa on

\[\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^nf^0(x_{ij}^*,y_{ij}^*)\,\Delta x_i\,\Delta y_j =\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n\Delta x_i\,\Delta y_j =1.\]

Vastaavasti jokainen piste \((x_{ij}^*,y_{ij}^*)\) voidaan valita siten, että \((x_{ij}^*,y_{ij}^*)\not\in A\). Silloin \(f^0(x_{ij}^*,y_{ij}^*)=0\) ja Riemannin summa on \(0\). Riemannin summilla ei siten ole raja-arvoa, kun \(|P|\to0\). Niinpä vakiofunktio \(1\) ei ole integroituva, eikä joukolla \(A\) siten ole pinta-alaa.

Tilavuustulkinta (3) yleistyy seuraavasti: jos rajoitetulla joukolla \(A\subset\R^2\) on pinta-ala ja \(f(x,y)\ge0\) joukossa \(A\), niin joukon \(A\) ja funktion \(f\) kuvaajan väliin jäävän joukon \(T\) tilavuus on

(3)¶\[\boxed{v(T)=\iint_Af(x,y)\,dx\,dy.}\]

Esimerkin 7.3.4 mukaan edes vakiofunktio \(1\) ei välttämättä ole integroituva. Integroituvuus riippuukin sekä funktion \(f\) että joukon \(A\) ominaisuuksista. Usein käytännön tilanteissa pärjätään seuraavalla tuloksella.

Lause 7.3.5

Jos suljetun ja rajoitetun joukon \(A\subset\R^2\) reuna koostuu äärellisen monesta paloittain sileästä käyrästä ja \(f\colon A\to\R\) on jatkuva, niin \(f\) on integroituva.

Lauseiden 7.3.5–1.6 tarkka todistaminen vaatisi huomattavan paljon työtä. Tällä peruskurssilla tyydymme perustelemaan ominaisuuksia geometrisesti. Lauseen 1.6 kohdat (1)-(5) voidaan perustella samaan tapaan kuin yksiulotteiselle integraalille (ks. Plussa: APK, Lause 6.4.3).

Lause 7.3.6 (Tasointegraalin ominaisuuksia)

Integroituville funktioille \(f\) ja \(g\colon A\to\R\) (\(A\subset\R^2\)) pätee:

\(\displaystyle\iint_A cf(x,y)\,dx\,dy=c\iint_A f(x,y)\,dx\,dy\qquad(c\in\R).\)
\(\displaystyle\displaystyle\iint_A \left(f(x,y)+g(x,y)\right)\,dx\,dy=\iint_A f(x,y)\,dx\,dy+\iint_A g(x,y)\,dx\,dy.\)
Jos \(f(x,y)\le g(x,y)\) kaikilla \((x,y)\in A\), niin

(4)¶\[\iint_Af(x,y)\,dx\,dy\le\iint_A g(x,y)\,dx\,dy.\]
\(\displaystyle\left|\iint_A f(x,y)\,dx\,dy\right|\le\iint_A\left| f(x,y)\right|\,dx\,dy\).
Jos \(A\) jaetaan erillisiin osiin \(A_1\) ja \(A_2\) (ts. \(A=A_1\cup A_2\) ja \(A_1\cap A_2=\emptyset\)) ja \(f\) on integroituva \(A_1\):ssa ja \(A_2\):ssa, niin

(5)¶\[\iint_Af(x,y)\,dx\,dy=\iint_{A_1} f(x,y)\,dx\,dy+\iint_{A_2} f(x,y)\,dx\,dy.\]

Oletetaan, että rajoitetun joukon \(A\subset\R^2\) reuna koostuu äärellisen monesta paloittain sileästä käyrästä ja että \(f\) on integroituva \(A\):ssa. Voidaan osoittaa, että tällöin \(f\) on integroituva myös \(A\):n sisuksessa \(\operatorname{int}(A)\), reunalla \(\partial A\) ja sulkeumassa \(\overline{A}\) (ks. määritelmä 6.1.3). Lisäksi voidaan osoittaa, että reunan \(\partial A\) pinta-ala \(=0\), jolloin

\[\iint_{\partial A}f(x,y)\,dx\,dy=0.\]

Niinpä

\[\iint_{\operatorname{int}(A)}f(x,y)\,dx\,dy =\iint_Af(x,y)\,dx\,dy =\iint_{\overline{A}}f(x,y)\,dx\,dy.\]

Integroimistuloksen kannalta ei siten ole merkitystä sillä, mitkä reunapisteet kuuluvat integroimisjoukkoon ja mitkä eivät.

Määritelmä 7.3.7

\(A\subset\R^2\) on :math:`x`-projisoituva (:math:`y`-simple, vertically simple), jos se on muotoa

\[\begin{aligned} A=\{(x,y)\in\R^2 : x\in[a,b],\ y_1(x)\le y\le y_2(x)\}, \end{aligned}\]

missä \(y_1\) ja \(y_2\) ovat jatkuvia funktioita, ts. \(A\) koostuu pystysuorista janoista \(\{(x,y)\in\R^2 : y_1(x)\le y\le y_2(x)\}\), \(x\in[a,b]\).

\(A\subset\R^2\) on :math:`y`-projisoituva (:math:`x`-simple, horizontally simple), jos se on muotoa

\[\begin{aligned} A=\{(x,y)\in\R^2 : y\in[c,d],\ x_1(y)\le x\le x_2(y)\}, \end{aligned}\]

missä \(x_1\) ja \(x_2\) ovat jatkuvia funktioita, ts. \(A\) koostuu vaakasuorista janoista \(\{(x,y)\in\R^2 : x_1(y)\le x\le x_2(y)\}\), \(y\in[c,d]\).

Lause 7.3.8

Olkoon \(f\colon A\to\R\) jatkuva. Jos \(A\) on \(x\)-projisoituva, niin \(f\) on integroituva ja

\[\begin{aligned} \iint_Af(x,y)\,dx\,dy=\int_a^b\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)\,dy\,dx, \end{aligned}\]

ja jos \(A\) on \(y\)-projisoituva, niin \(f\) on integroituva ja

\[\begin{aligned} \iint_Af(x,y)\,dx\,dy=\int_c^d\int_{x_1(y)}^{x_2(y)}f(x,y)\,dx\,dy. \end{aligned}\]

Piilota/näytä todistus

Integroituvuuden tarkastelun sivuutamme. Todistetaan kaava siinä tapauksessa, että \(A\) on \(x\)-projisoituva (\(y\)-projisoituva tapaus vastaavasti).

Peitetään \(A\) suorakulmiolla \(R=[a,b]\times[c,d]\). Tällöin kullakin \(x\in[a,b]\) kuvan mukaisella pystysuoralla janalla nollajatko \(f^0(x,y)=0\), kun \(y\in[c,y_1(x))\) tai \(y\in(y_2(x),d]\) ja \(f^0(x,y)=f(x,y)\), kun \(y\in[y_1(x),y_2(x)]\). Siten lauseen 7.2.2 viipalointiperiaatteen mukaan

\[\begin{split}\begin{aligned} &\iint_Af(x,y)\,dx\,dy =\iint_Rf^0(x,y)\,dx\,dy =\int_a^b\int_c^df^0(x,y)\,dy\,dx\\ &=\int_a^b\left(\int_c^{y_1(x)}0\,dy+\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)\,dy+\int_{y_2(x)}^d0\,dy\right)\,dx\\ &=\int_a^b\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)\,dy\,dx.\qedhere \end{aligned}\end{split}\]

Esimerkki 7.3.9

Olkoon \(A\) käyrien \(y=2x\) ja \(y=x^2\) rajaama rajoitettu tasojoukko. Laske

\[\iint_A(4x+2)\,dx\,dy\]

kummassakin integroimisjärjestyksessä.

Piilota/näytä ratkaisu

Käyrien leikkauspisteissä \(2x=x^2\ \Leftrightarrow\ x(x-2)=0\ \Leftrightarrow\ x=0\) tai \(x=2\).

\(A\) on \(x\)-projisoituva, sillä

\[A=\{(x,y)\in\R^2:\ x\in[0,2],\ x^2\le y\le2x\}.\]

Uloimman integroimismuuttujan \(x\) rajat ovat siis \(0\ldots2\) ja kullakin \(x\) \(y\):n rajat ovat \(x^2\ldots2x\) (ks. kuva):

\[\begin{split}\begin{aligned} \iint_A(4x+2)\,dx\,dy&=\int_0^2\int_{x^2}^{2x}(4x+2)\,dy\,dx\\ &=\int_0^2\sij{x^2}{2x}(4xy+2y)\,dx\\ &=\int_0^2\left(8x^2+4x-\left(4x^3+2x^2\right)\right)\,dx\\ &=\int_0^2\left(-4x^3+6x^2+4x\right)\,dx\\ &=\sij{0}{2}\left(-x^4+2x^3+2x^2\right)=-16+16+8=8. \end{aligned}\end{split}\]

\(A\) on myös \(y\)-projisoituva, sillä

\[A=\left\{(x,y)\in\R^2:\ y\in[0,4],\ \frac{y}{2}\le x\le\sqrt{y}\right\}.\]

Uloimman integroimismuuttujan \(y\) rajat ovat siis \(0\ldots4\) ja kullakin \(y\) \(x\):n rajat ovat \(y/2\ldots\sqrt{y}\) (ks. kuva):

\[\begin{split}\begin{aligned} \iint_A(4x+2)\,dx\,dy&=\int_0^4\int_{y/2}^{\sqrt{y}}(4x+2)\,dx\,dy\\ &=\int_0^4\sij{y/2}{\sqrt{y}}\left(2x^2+2x\right)\,dy\\ &=\int_0^4\left(2y+2y^{1/2}-\left(\frac12y^2+y\right)\right)\,dy\\ &=\int_0^4\left(-\frac12y^2+y+2y^{1/2}\right)\,dy\\ &=\sij{0}{4}\left(-\frac16y^3+\frac12y^2+\frac43y^{3/2}\right) =-\frac{32}{3}+8+\frac{32}{3}=8. \end{aligned}\end{split}\]

Yhteenvetona:

Uloimpana aina vakiorajat!
Sisemmän integroimismuuttujan rajat voivat riippua ulommasta muuttujasta.
Tarkasta sisemmän integroimismuuttujan rajojen järjestys myös kuvasta: liikutaan ko. koordinaattiakselin positiiviseen suuntaan alarajalta ylärajalle. Esimerkiksi esimerkissä 7.3.9 \(x\):n ollessa sisempi integroimismuuttuja: liikuttaessa \(x\)-akselin positiiviseen suuntaan tullaan ensin käyrälle \(x=y/2\) (alaraja), sitten käyrälle \(x=\sqrt{y}\) (yläraja).

Esimerkki 7.3.10

Laske

\[\int_0^1\int_{\sqrt{x}}^1e^{y^3}\,dy\,dx.\]

Piilota/näytä ratkaisu

Funktion \(e^{y^3}\) integrointi \(y\):n suhteen ei suoraan onnistu. Hahmotellaan kuva integroimisjoukosta \(A\) ja kokeillaan toista integroimisjärjestystä. Ulomman integroimismuuttujan \(x\) rajat ovat \(0\ldots1\) ja kullakin \(x\) \(y\):n rajat ovat \(\sqrt{x}\ldots1\), joten saadaan oheisen kuvan mukainen joukko.

Toisessa järjestyksessä uloimman integroimismuuttujan \(y\) rajat ovat \(0\ldots1\) ja kullakin \(y\) \(x\):n rajat ovat \(0\ldots y^2\), joten

\[\begin{split}\begin{aligned} \int_0^1\int_{\sqrt{x}}^1e^{y^3}\,dy\,dx &=\int_0^1\int_0^{y^2}e^{y^3}\,dx\,dy =\int_0^1\sij{0}{y^2}xe^{y^3}\,dy\\ &=\int_0^1y^2e^{y^3}\,dy =\sij{0}{1}\frac13e^{y^3}=\frac{e-1}{3}. \end{aligned}\end{split}\]

Esimerkki 7.3.11

Laske paraabelin \(y=x^2\) ja suoran \(y=x+2\) rajaaman tasojoukon \(A\) pinta-ala.

Piilota/näytä ratkaisu

On laskettava funktion \(1\) integraali joukossa \(A\).

Käyrien \(y=x^2\) ja \(y=x+2\) leikkauspisteissä \(x^2-x-2=0\ \Leftrightarrow\ x=-1\) tai \(x=2\). Niinpä

\[\begin{split}\begin{aligned} a(A)&=\iint_A1\,dx\,dy =\int_{-1}^2\int_{x^2}^{x+2}dy\,dx =\int_{-1}^2\sij{x^2}{x+2}y\,dx\\ &=\int_{-1}^2\left(x+2-x^2\right)\,dx=\cdots=\frac92. \end{aligned}\end{split}\]

Esimerkki 7.3.12

Laske sen joukon \(T\) tilavuus, jota rajoittaa ylhäältä paraboloidi \(z=x^2+y^2\) ja alhaalta \(xy\)-tasossa suorien \(y=x\), \(x=0\) ja \(y+x=2\) rajaama rajoitettu joukko.

Piilota/näytä ratkaisu

On laskettava funktion \(f(x,y)=x^2+y^2\ge0\) integraali em. suorien rajaamassa joukossa \(A\).

Suorien \(y=x\) ja \(y=2-x\) leikkauspiste on \((1,1)\), joten \(A\) on kuvan mukainen kolmiojoukko.

\[\begin{split}\begin{aligned} v(T)&=\iint_A(x^2+y^2)\,dx\,dy =\int_0^1\int_x^{2-x}(x^2+y^2)\,dy\,dx\\ &=\int_0^1\sij{x}{2-x}\left(x^2y+\frac13y^3\right)\,dx\\ &=\int_0^1\left(x^2(2-x)+\frac13(2-x)^3-\left(x^3+\frac13x^3\right)\right)\,dx\\ &=\int_0^1\left(-\frac83x^3+4x^2-4x+\frac83\right)\,dx=\cdots=\frac43. \end{aligned}\end{split}\]

Olkoot \(z_1(x,y)\) ja \(z_2(x,y)\) jatkuvia funktioita joukossa \((x,y)\in A\). Oletetaan, että \(z_2(x,y)\ge z_1(x,y)\ge0\). Silloin pinnan \(z=z_2(x,y)\) ja \(A\):n väliin jäävän joukon tilavuus \(V_2\) ja pinnan \(z=z_1(x,y)\) ja \(A\):n väliin jäävän joukon tilavuus \(V_1\) ovat kaavan (3) mukaan

\[V_2=\iint_Az_2(x,y)\,dx\,dy\qquad\text{ja}\qquad V_1=\iint_Az_1(x,y)\,dx\,dy.\]

Nyt pintojen \(z_1\) ja \(z_2\) väliin jäävän joukon \(T\subset\R^3\) tilavuus on \(V_2-V_1\), ts.

(6)¶\[\boxed{v(T)=\iint_A\left(z_2(x,y)-z_1(x,y)\right)\,dx\,dy.}\]

Kaava (6) pätee myös, vaikka \(z_1\) ja \(z_2\) eivät olisikaan kaikkialla ei-negatiivisia. Jos näet \(m=\min_Az_1<0\), niin pinnat \(z=z_2(x,y)-m\) ja \(z=z_1(x,y)-m\) ovat ei-negatiivisia ja rajaavat väliinsä saman tilavuuden kuin \(z_2\) ja \(z_1\). Näille pinnoille kaavassa (6) tulee laskettavaksi integraali funktiosta \((z_2(x,y)-m)-(z_1(x,y)-m)=z_2-z_1\), eli päädytään samaan kaavaan.

Esimerkki 7.3.13

Laske elliptisen paraboloidin \(z=x^2+3y^2\) ja pinnan \(z=4-y^2\) rajaaman rajoitetun joukon \(T\) tilavuus.

Piilota/näytä ratkaisu

Paraboloidi avautuu ylöspäin ja toinen pinta alaspäin, joten tässä alempi pinta on \(z_1(x,y)=x^2+3y^2\) ja ylempi pinta \(z_2(x,y)=4-y^2\). Integroimisjoukon \(A\) selvittämiseksi on ratkaistava epäyhtälö \(z_1(x,y)\le z_2(x,y)\): \(x^2+3y^2\le4-y^2\ \Leftrightarrow\ x^2+4y^2\le4\). Integroimisjoukon reunakäyrä on siis ellipsi \(x^2+4y^2=4\) ja \(A\) voidaan kirjoittaa \(y\)-projisoituvana joukkona

\[A=\left\{(x,y)\in\R^2:\ y\in[-1,1],\ -\sqrt{4-4y^2}\le x\le\sqrt{4-4y^2}\right\}.\]

Niinpä

\[\begin{split}\begin{aligned} v(T)&=\int_{-1}^1\int_{-\sqrt{4-4y^2}}^{\sqrt{4-4y^2}}\left(4-y^2-\left(x^2+3y^2\right)\right)\,dx\,dy\\ &=\int_{-1}^1\int_{-\sqrt{4-4y^2}}^{\sqrt{4-4y^2}}\left(4-x^2-4y^2\right)\,dx\,dy\\ &=2\int_{-1}^1\int_0^{\sqrt{4-4y^2}}\left(4-x^2-4y^2\right)\,dx\,dy\\ &=2\int_{-1}^1\sij{0}{\sqrt{4-4y^2}}\left(4x-\frac13x^3-4xy^2\right)\,dy\\ &=2\int_{-1}^1\left(4\sqrt{4-4y^2}-\frac13(4-4y^2)^{3/2}-4\sqrt{4-4y^2}y^2\right)\,dy\\ &=\frac43\int_{-1}^1(4-4y^2)^{3/2}\,dy =\frac{32}{3}\int_{-1}^1(1-y^2)^{3/2}\,dy\\ &=\frac{32}{3}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^4u\,du=4\pi. \end{aligned}\end{split}\]

Tässä kolmannella rivillä käytettiin tietoa, että integrandi on parillinen funktio \(x\):n suhteen. Viimeisellä rivillä tehtiin muuttujanvaihto \(y=\sin u\), jolloin \(dy=\cos u\,du\) ja \(\sqrt{1-y^2}=\cos u\) (piirrä suorakulmainen kolmio, jossa \(u\) on terävä kulma). \(\int_0^{\pi/2}\cos^4u\,du\) katsotaan taulukosta.

Määritelmä 7.3.14

\(A\subset\R^2\) on yhtenäinen, jos mitkä tahansa kaksi \(A\):n pistettä voidaan yhdistää jatkuvalla käyrällä, joka on kokonaan \(A\):ssa.

Lause 7.3.15 (Tasointegraalin väliarvolause)

Olkoon \(A\subset\R^2\) suljettu, rajoitettu ja yhtenäinen, ja olkoon \(a(A)>0\). Jos \(f\colon A\to\R\) on jatkuva, niin on olemassa \((a,b)\in A\) siten, että

(7)¶\[\iint_Af(x,y)\,dx\,dy=f(a,b)a(A).\]

Piilota/näytä todistus

Koska \(A\) on suljettu ja rajoitettu, niin jatkuva funktio \(f\) saavuttaa siellä pienimmän arvonsa \(m\) ja suurimman arvonsa \(M\). Saavutettakoon nämä arvot pisteissä \((x_1,y_1)\in A\) ja \((x_2,y_2)\in A\), ts. \(f(x_1,y_1)=m\) ja \(f(x_2,y_2)=M\). Nyt \(m\le f(x,y)\le M\) kaikilla \((x,y)\in A\), joten lauseen 7.3.6 kohdan (3) mukaan

\[\begin{aligned} \iint_Am\,dx\,dy\le\iint_Af(x,y)\,dx\,dy\le\iint_AM\,dx\,dy. \end{aligned}\]

Laskemalla oikean ja vasemmanpuoleiset integraalit (ks. lause 7.3.6 (1) ja (2)) saadaan

\[ma(A)\le\iint_Af(x,y)\,dx\,dy\le Ma(A),\]

joten

\[m\le\frac{1}{a(A)}\iint_Af(x,y)\,dx\,dy\le M.\]

Koska \(A\) on yhtenäinen, voidaan pisteet \((x_1,y_1)\) ja \((x_2,y_2)\) yhdistää käyrällä \(\br(t)=(x(t),y(t))\) (\(0\le t\le1\)) siten, että \(\br(0)=(x_1,y_1)\) ja \(\br(1)=(x_2,y_2)\). Nyt \(g(t)=f(\br(t))\) on välillä \([0,1]\) jatkuva yhden muuttujan funktio, jolle \(g(0)=m\) ja \(g(1)=M\). Jatkuvien funktioiden väliarvolauseen [Plussa: APK, Lause 4.4.11] mukaan \(g\) saavuttaa myös kaikki arvojen \(m\) ja \(M\) väliset arvot. Erityisesti se saavuttaa eräässä pisteessä \(t_0\in[0,1]\) arvon

\[g(t_0)=f(\br(t_0))=\frac{1}{a(A)}\iint_Af(x,y)\,dx\,dy.\]

Voidaan siis valita \((a,b)=\br(t_0)\).

Jos \((a,b)\) on kuten lauseessa 7.3.15, niin

\[\begin{split}\begin{aligned} \iint_A(f(x,y)-f(a,b))\,dx\,dy &=\iint_Af(x,y)\,dx\,dy-\iint_Af(a,b)\,dx\,dy\\ &=\iint_Af(x,y)\,dx\,dy-f(a,b)a(A)\\ &=\iint_Af(x,y)\,dx\,dy-\iint_Af(x,y)\,dx\,dy =0. \end{aligned}\end{split}\]

Niinpä funktion \(f(x,y)-f(a,b)\) kuvaajan ja \(xy\)-tason väliin jäävästä tilavuudesta on yhtä paljon \(xy\)-tason ala- kuin yläpuolella. Siten funktion \(f(x,y)\) kuvaajan ja tason \(z=f(a,b)\) väliin jäävästä tilavuudesta on yhtä paljon tason \(z=f(a,b)\) ala- kuin yläpuolella.

Tällä perusteella arvoa \(f(a,b)\) voidaan sanoa funktion \(f\) keskiarvoksi joukossa \(A\). Keskiarvo voidaan määritellä myös niille integroituville funktioille, jotka eivät ole jatkuvia.

Määritelmä 7.3.16

Integroituvan funktion \(f\colon A\to\R\) (\(A\subset\R^2\)) keskiarvo (average value) on luku

\[\overline{f}=\frac{1}{a(A)}\iint_Af(x,y)\,dx\,dy.\]

Tasointegraalin väliarvolause voidaan nyt muotoilla niin, että ”jatkuva funktio saavuttaa keskiarvonsa”.

Esimerkki 7.3.17

Laske funktioiden \(f(x,y)=x\) ja \(g(x,y)=y\) keskiarvot kolmiossa \(A\), jonka kärkipisteet ovat \((-1,0)\), \((2,0)\) ja \((2,2)\).

Piilota/näytä ratkaisu

Kolmion pinta-ala on \(a(A)=(3\cdot2)/2=3\) ja

\[A=\left\{(x,y)\in\R^2:\ -1\le x\le2,\ 0\le y\le\frac23x+\frac23\right\}.\]

Niinpä

\[\begin{split}\begin{aligned} \overline{x}&=\frac13\iint_Ax\,dx\,dy=\frac13\int_{-1}^2\int_0^{2x/3+2/3}x\,dy\,dx =\frac13\int_{-1}^2\sij{0}{2x/3+2/3}xy\,dx\\ &=\frac13\int_{-1}^2\left(\frac23x^2+\frac23x\right)\,dx=1\quad\text{ja}\\ \overline{y}&=\frac13\iint_Ay\,dx\,dy=\frac13\int_{-1}^2\int_0^{2x/3+2/3}y\,dy\,dx =\frac16\int_{-1}^2\sij{0}{2x/3+2/3}y^2\,dx\\ &=\frac{1}{54}\int_{-1}^2\left(4x^2+8x+4\right)\,dx=\frac23. \end{aligned}\end{split}\]

Esimerkissä 7.3.17 \(x\):n keskiarvo \(\overline{x}\) ja \(y\):n keskiarvo \(\overline{y}\) joukossa \(A\subset\R^2\) antavat joukon \(A\) painopisteen \((\overline{x},\overline{y})\).