\[\begin{split}\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bbf}{\mathbf{f}}
\newcommand{\bF}{\mathbf{F}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bi}{\mathbf{i}}
\newcommand{\bj}{\mathbf{j}}
\newcommand{\bk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bo}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bR}{\mathbf{R}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\re}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\bA}{\mathbf{A}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\dist}{\operatorname{d}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{proj}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
\newcommand{\Span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\row}{\operatorname{row}}
\newcommand{\col}{\operatorname{col}}
\newcommand{\Null}{\operatorname{null}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\piste}{\boldsymbol{\cdot}}
\newcommand{\kappale}{\newline \hspace{17pt}}
\newcommand{\kohta}[1]{\textbf{#1)}\hspace{5px}}
\newcommand{\kohtav}[1]{\hspace{7pt}\textbf{#1)}\hspace{5px}}
\newcommand{\tilaa}{\vspace{7pt}\\}
\newcommand{\bigfrac}[2]{{\displaystyle{\frac{#1}{#2}}}}
\newcommand{\smallfrac}[2]{{\textstyle{\frac{#1}{#2}}}}
\newcommand{\xn}[2]{(#1_1,#1_2,\ldots,#1_{#2})}
\newcommand{\vastaus}[1]{\null\hfill({\footnotesize#1})}
\newcommand{\mathvastaus}[1]{\eqno{\mbox{({\footnotesize#1})}}}
\newcommand{\ep}[1]{\textnormal{ (\cite[#1]{ep})}}
\newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]}
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}}
\newcommand{\qedhere}{}\end{split}\]
Yleinen muuttujanvaihto tasointegraaleilla
Tarkastellaan ensin muuttujanvaihtoa \(\R^2\):ssa muuttujien \(uv\) ja \(xy\) välillä. Muuttujanvaihtokuvaus
(1)\[F\colon\R_{uv}^2\to\R_{xy}^2,\ F(u,v)=(x(u,v),\,y(u,v))\]
antaa \(uv\)-koordinaateissa annetun pisteen koordinaatit \(xy\)-koordinaateissa.
Esimerkki 7.6.1
Esimerkin 5.1.1 napakoordinaattikuvaus
(2)\[F\colon\R_{r\theta}^2\to\R_{xy}^2,\ F(r,\theta)
=(x(r,\theta),\,y(r,\theta))
=(r\cos\theta,\,r\sin\theta)\]
on muuttujanvaihtokuvaus, jolle \(F(r,\theta)\) antaa napakoordinaatteja \(r\) ja \(\theta\) vastaavan pisteen \(x\)- ja \(y\)-koordinaatit.
Olkoon \(A\subset\R^2\). Määritelmässä (1) joukkojen \(R_{ij}\subset A\) ei tarvitse olla suorakulmioita, eli jos joukot \(R_1,\ldots,R_k\subset A\) ovat (riittävän siistejä) sisuksiltaan erillisiä ja peittävät \(A\):n sekä valitaan pisteet \((x_i^*,y_i^*)\in R_i\), niin
\[\iint_Af(x,y)\,dx\,dy=\lim_{\max\{\operatorname{diam}(R_i):\ 1\le i\le k\}\to0}\sum_{i=1}^kf(x_i^*,y_i^*)a(R_i),\]
missä \(a(R_i)\) on joukon \(R_i\) pinta-ala.
Tarkastellaan nyt muutujanvaihtoa (1). Olkoon \(S\subset\R_{uv}^2\) joukkoa \(A\subset\R_{xy}^2\) vastaavaa \(uv\)-koordinaatiston joukko, ts. \(F(S)=A\). Peitetään \(S\) suorakulmiolla ja jaetaan se osasuorakulmioihin. Valitaan osasuorakulmioista ne, jotka sisältyvät \(S\):ään ja merkitään niitä \(S_1,\ldots,S_k\subset S\). Valitaan pisteet \((u_i^*,v_i^*)\in S_i\) ja merkitään \(S_i\):n leveyttä \(\Delta u_i\):llä ja korkeutta \(\Delta v_i\):llä, jolloin \(S_i\):n pinta-ala on \(a(S_i)=\Delta u_i\,\Delta v_i\). Nyt kuvajoukot \(R_1=F(S_1),\ldots,R_k=F(S_k)\subset A\) likimain peittävät \(A\):n ja saadaan kuvapisteet \((x_i^*,y_i^*)=F(u_i^*,v_i^*)\in R_i\). Lisäksi luvun ?? mukaan kuvauksessa \(F\) pinta-ala muuttuu pisteen \((u,v)\) lähellä \(|J_F(u,v)|\)-kertaiseksi, ts.
\[\begin{aligned}
a(R_i)\approx|J_F(u_i^*,v_i^*)|a(S_i)
=|J_F(u_i^*,v_i^*)|\,\Delta u_i\,\Delta v_i,
\end{aligned}\]
missä
\[\begin{split}J_F(u,v)=\det(F'(u,v))
=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}
=\begin{vmatrix}
\dfrac{\partial x}{\partial u}(u,v) & \dfrac{\partial x}{\partial v}(u,v)\\[10pt]
\dfrac{\partial y}{\partial u}(u,v) & \dfrac{\partial y}{\partial v}(u,v)
\end{vmatrix}\end{split}\]
on kuvauksen \(F\) Jacobin determinantti ja
\[|J_F(u,v)|=\left|\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|\]
suurennussuhde. Niinpä
\[\begin{split}\begin{aligned}
\iint_Af(x,y)\,dx\,dy
&\approx\sum_{i=1}^kf(x_i^*,y_i^*)a(R_i)\\
&\approx\sum_{i=1}^kf(F(u_i^*,v_i^*))|J_F(u_i^*,v_i^*)|\,\Delta u_i\,\Delta v_i\\
&\approx\iint_Sf(F(u,v))|J_F(u,v)|\,du\,dv.
\end{aligned}\end{split}\]
Ollaan saatu luonnosteltua perustelu seuraavalle muuttujanvaihtolauseelle:
Lause 7.6.2
Olkoon \(A\subset\R^2\) ”riittävän siisti”, \(f\colon A\to\R\) jatkuva, muuttujanvaihtokuvaus (1) jatkuvasti differentioituva ja \(F(S)=A\). Olkoon lisäksi \(F\) injektio ja \(J_F(u,v)\ne0\) \(S\):n sisuksessa. Silloin
\[\begin{aligned}
\iint_Af(x,y)\,dx\,dy
=\iint_Sf(F(u,v))\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|\,du\,dv.
\end{aligned}\]
Esimerkki 7.6.3
Napakoordinaattikuvaukselle (2) on
\[\begin{split}\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}
=\begin{vmatrix}
\dfrac{\partial x}{\partial r}(r,\theta) & \dfrac{\partial x}{\partial\theta}(r,\theta)\\[10pt]
\dfrac{\partial y}{\partial r}(r,\theta) & \dfrac{\partial y}{\partial\theta}(r,\theta)
\end{vmatrix}
=\begin{vmatrix}
\cos\theta & -r\sin\theta\\
\sin\theta & r\cos\theta
\end{vmatrix}
=r(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=r,\end{split}\]
joten saadaan
\[\boxed{\iint_Af(x,y)\,dx\,dy=\iint_Sf(r\cos\theta,r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta.}\]
Tämä yleistää aiemmin perustellun muodon (4).
Usein tunnetaan eksplisiittisesti vain muuttujanvaihtokuvauksen (1) käänteiskuvaus
\[F^{-1}\colon\R_{xy}^2\to\R_{uv}^2,\ F^{-1}(x,y)=(u(x,y),\,v(x,y)).\]
Yhtälöstä (1) seuraa, että
\[\begin{split}\begin{aligned}
\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}
&=\det\left((F^{-1})'(x,y)\right)
=\det\left(F'(u,v)^{-1}\right)\\
&=\det\left(F'(u,v)\right)^{-1}
=\left(\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right)^{-1},
\end{aligned}\end{split}\]
joten \(F\):n Jacobin determinantti saadaan käänteiskuvauksen Jacobin determinantin avulla:
(3)\[\boxed{\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}
=\left(\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\right)^{-1}.}\]
Esimerkki 7.6.4
Laske
\[\iint_A(x^2+y^2)\,dx\,dy,\]
missä \(A\) on hyperbelien \(xy=1\), \(xy=3\), \(x^2-y^2=1\) ja \(x^2-y^2=4\) rajaama joukko.
Piilota/näytä ratkaisu
Pisteitä \((x,y)\in A\) rajaavat ehdot \(1\le xy\le3\) ja \(1\le x^2-y^2\le4\). Tehdään muuttujanvaihto \(u=xy\) ja \(v=x^2-y^2\), jolloin \(u\):lla ja \(v\):llä on vakiorajat \(1\le u\le3\) ja \(1\le v\le4\).
Selvitetään, mitä integrandi \(x^2+y^2\) on muuttujissa \(u\) ja \(v\):
\[\begin{split}\begin{aligned}
(x^2+y^2)^2
&=x^4+2x^2y^2+y^4
=x^4-2x^2y^2+y^4+4x^2y^2\\
&=(x^2-y^2)^2+4x^2y^2
=v^2+4u^2,
\end{aligned}\end{split}\]
joten \(x^2+y^2=\sqrt{v^2+4u^2}\). Lisäksi
\[\begin{split}\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}
=\begin{vmatrix}
\dfrac{\partial u}{\partial x}(x,y) & \dfrac{\partial u}{\partial y}(x,y)\\[10pt]
\dfrac{\partial v}{\partial x}(x,y) & \dfrac{\partial v}{\partial y}(x,y)
\end{vmatrix}
=\begin{vmatrix}
y & x\\
2x & -2y
\end{vmatrix}
=-2(x^2+y^2),\end{split}\]
joten yhtälön (3) mukaan
\[\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}
=-\frac{1}{2(x^2+y^2)}
=-\frac{1}{2\sqrt{v^2+4u^2}}.\]
Nyt
\[\begin{split}\begin{aligned}
\iint_A(x^2+y^2)\,dx\,dy
&=\int_1^3\int_1^4\sqrt{v^2+4u^2}\frac{1}{2\sqrt{v^2+4u^2}}\,dv\,du\\
&=\frac12\left(\int_1^3\,du\right)\left(\int_1^4\,dv\right)
=3.
\end{aligned}\end{split}\]