\[\begin{split}\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bF}{\mathbf{F}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bR}{\mathbf{R}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\bA}{\mathbf{A}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\dist}{\operatorname{d}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\row}{\operatorname{row}} \newcommand{\col}{\operatorname{col}} \newcommand{\Null}{\operatorname{null}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\piste}{\boldsymbol{\cdot}} \newcommand{\kappale}{\newline \hspace{17pt}} \newcommand{\kohta}[1]{\textbf{#1)}\hspace{5px}} \newcommand{\kohtav}[1]{\hspace{7pt}\textbf{#1)}\hspace{5px}} \newcommand{\tilaa}{\vspace{7pt}\\} \newcommand{\bigfrac}[2]{{\displaystyle{\frac{#1}{#2}}}} \newcommand{\smallfrac}[2]{{\textstyle{\frac{#1}{#2}}}} \newcommand{\xn}[2]{(#1_1,#1_2,\ldots,#1_{#2})} \newcommand{\vastaus}[1]{\null\hfill({\footnotesize#1})} \newcommand{\mathvastaus}[1]{\eqno{\mbox{({\footnotesize#1})}}} \newcommand{\ep}[1]{\textnormal{ (\cite[#1]{ep})}} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}\end{split}\]

Sidotut ääriarvot ja Lagrangen menetelmä¶

Sidotulla ääriarvotehtävällä (constrained optimization problem) tarkoitetaan tehtävää, jossa ongelmana on etsiä funktion \(f\) ääriarvot jossakin määrittelyjoukon osajoukossa \(A\subset\R^n\). Tapauksessa \(n=2\) joukkona \(A\) on tyypillisesti tarkastelujoukon reunakäyrä ja tapauksessa \(n=3\) reunapinta, kuten luvun ?? ääriarvotehtävissä, joissa osana tehtävää on selvittää funktion ääriarvot tutkittavan joukon reunalla.

Kahden muuttujan funktion \(f(x,y)\) ääriarvoja käyrällä \(C\) voidaan yrittää selvittää mm. seuraavilla tavoilla (jos suorempaa keinoa ei keksitä):

Haetaan käyrälle \(C\) parametrisointi \(\br\colon[a,b]\to\R^2\), jolloin tehtäväksi jää yhden muuttujan reaaliarvoisen funktion \(f(\br(t))\) ääriarvojen hakeminen välillä \([a,b]\).
Ratkaistaan käyrän koordinaattimuodosta \(g(x,y)=0\) jompi kumpi muuttuja toisen suhteen, esimerkiksi \(y=y(x)\) ja sijoitetaan tutkittavaan funktioon: \(f(x,y)=f(x,y(x))=:g(x)\). Tutkittavaksi jää yhden muuttujan funktio \(g(x)\).
Voidaan käyttää seuraavaa Lagrangen menetelmää.

Lause 6.2.1

Olkoot funktiot \(f\) ja \(g\colon\R^2\to\R\) jatkuvasti differentioituvia. Jos funktiolla \(f\) on joukossa

\[\begin{aligned} C=\{(x,y)\in\R^2:\ g(x,y)=0\} \end{aligned}\]

lokaali ääriarvo pisteessä \((x_0,y_0)\) ja \(\nabla g(x_0,y_0)\ne(0,0)\), niin jollekin \(\lambda\in\R\) pätee:

\[\begin{aligned} \nabla f(x_0,y_0)=\lambda\nabla g(x_0,y_0). \end{aligned}\]

Ehtoa \(g(x,y)=0\) kutsutaan side-ehdoksi tai rajoitteeksi (constraint, side condition).

Piilota/näytä todistus

Koska \(\nabla g(x_0,y_0)\ne(0,0)\), niin tasa-arvojoukko \(g(x,y)=0\) on sileä käyrä pisteen \((x_0,y_0)\) lähellä. Tätä tulosta kutsutaan implisiittifunktiolauseeksi, jonka todistus sivuutetaan. Olkoon \(\br(t)\) ko. käyrän parametrisointi siten, että \(\br(t_0)=(x_0,y_0)\). Koska piste \((x_0,y_0)\) on \(f\):n ääriarvokohta ko. käyrällä, niin \(\dfrac{d}{dt}f(\br(t_0))=0\). Ottamalla huomioon ketjusääntö (2) saadaan

(1)¶\[\nabla f(\br(t_0))\piste\br'(t)=0.\]

Toisaalta lauseen 3.4.9 mukaan

(2)¶\[\nabla g(\br(t_0))\piste\br'(t)=0.\]

Yhtälöiden (1) ja (2) mukaan \(\R^2\):n vektorit \(\nabla f(\br(t_0))\) ja \(\nabla g(\br(t_0))\) ovat kohtisuorassa tangenttivektoria \(\br'(t)\) vastaan, joten niiden täytyy olla yhdensuuntaiset. Koska \(\nabla g(\br(t_0))\ne(0,0)\), niin löytyy kerroin \(\lambda\) siten, että \(\nabla f(\br(t_0))=\lambda\nabla g(\br(t_0))\).

Lause 6.2.1 antaa seuraavan menetelmän:

Lause 6.2.2 (Lagrangen menetelmä kahden muuttujan funktiolle - 1 side-ehto)

Olkoot funktiot \(f\) ja \(g\colon\R^2\to\R\) jatkuvasti differentioituvia. Funktion \(f(x,y)\) lokaalit ääriarvopisteet joukossa \(g(x,y)=0\) löytyvät yhtälöryhmän

\[\begin{split}\begin{aligned} \begin{cases} g(x,y)=0\\ \nabla f(x,y)=\lambda\nabla g(x,y) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} g(x,y)=0\\ D_xf(x,y)=\lambda D_xg(x,y)\\ D_yf(x,y)=\lambda D_yg(x,y) \end{cases} \end{aligned}\end{split}\]

ratkaisuina tai ne ovat pisteitä \((x,y)\), joille \(g(x,y)=0\) ja \(\nabla g(x,y)=(0,0)\).

Kyseessä on kolmen muuttujan \(x,y\) ja \(\lambda\) yhtälöryhmä. Muuttujan \(\lambda\) (ns. Lagrangen kertoja, Lagrange multiplier) arvosta ei olla yleensä kiinnostuneita, joten monesti yhtälöryhmä ratkaistaan eliminoimalla \(\lambda\) jossakin ratkaisuprosessin vaiheessa.

Esimerkki 6.2.3

Hae funktion \(f(x,y)=x^2+2y^2-x\) ääriarvot ympyrällä \(C=\{(x,y)\in\R^2:\ x^2+y^2=1\}\) käyttäen Lagrangen menetelmää. Vertaa esimerkkiin 6.1.17, missä osana tehtävää ratkaistiin sama ongelma kahdella eri tavalla.

Piilota/näytä ratkaisu

Ympyrä voidaan esittää tasa-arvokäyränä \(g(x,y)=0\), missä \(g(x,y)=x^2+y^2-1\). Nyt \(\nabla f=(2x-1,4y)\) ja \(\nabla g=(2x,2y)\), joten Lagrangen menetelmän yhtälöryhmäksi saadaan

\[\begin{split}\left\{\begin{aligned} x^2+y^2&=1\\ 2x-1&=\lambda2x\\ 4y&=\lambda2y\ \Leftrightarrow\ y=0\text{ tai }\lambda=2 \end{aligned}\right.\end{split}\]

Jos \(y=0\), niin ylin yhtälö antaa ratkaisut \(x=\pm1\) (ja kummassakin tapauksessa löytyy \(\lambda\) siten, että keskimmäinenkin yhtälö ratkeaa). Saadaan ääriarvopistekandidaatit \((-1,0)\) ja \((1,0)\). Jos taas \(\lambda=2\), niin keskimmäisestä yhtälöstä ratkaistaan \(x=-1/2\) ja edelleen ylimmästä \(y=\pm\sqrt3/2\). Saadaan ääriarvopistekandidaatit \((-1/2,\sqrt3/2)\) ja \((-1/2,-\sqrt3/2)\). Funktion arvot näissä pisteissä: \(f(-1,0)=2\), \(f(1,0)=0\) ja \(f(-1/2,\pm\sqrt3/2)=9/4\).

\(\nabla g\):n ainoa nollakohta \((x,y)=(0,0)\) ei ole tutkittavalla käyrällä.

Vastaus. \(\min_Cf=0\) ja \(\max_Cf=9/4\).

Lause 6.2.2 yleistyy \(n\):n muuttujan funktiolle \(f(\bx)\):

Lause 6.2.4 (Lagrangen menetelmä n muuttujan funktiolle - 1 side-ehto)

Olkoot funktiot \(f\) ja \(g\colon\R^n\to\R\) jatkuvasti differentioituvia. Funktion \(f(\bx)=f(x_1,\ldots,x_n)\) lokaalit ääriarvopisteet joukossa \(g(\bx)=g(x_1,\ldots,x_n)=0\) löytyvät yhtälöryhmän

\[\begin{split}\begin{aligned} \begin{cases} g(\bx)=0\\ \nabla f(\bx)=\lambda\nabla g(\bx) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} g(\bx)=0\\ D_1f(\bx)=\lambda D_1g(\bx)\\ D_2f(\bx)=\lambda D_2g(\bx)\\ \vdots\\ D_nf(\bx)=\lambda D_ng(\bx) \end{cases} \end{aligned}\end{split}\]

ratkaisuina tai ne ovat pisteitä \(\bx\), joille \(g(\bx)=0\) ja \(\nabla g(\bx)=\bo\).

Todistuksen idea kolmiulotteisessa reaalilukuavaruudessa

Piilota/näytä todistus

Olkoon \(f\):llä lokaali ääriarvo tasa-arvojoukon

\(g(x,y,z)=0\) pisteessä \((x_0,y_0,z_0)\). Jos \(\nabla g(x_0,y_0,z_0)\ne(0,0,0)\), niin tasa-arvojoukko \(g(x,y,z)=0\) on sileä pinta pisteen \((x_0,y_0,z_0)\) lähellä. Nähdään – samaan tapaan kuin lauseen 6.2.1 todistuksessa – että \(\nabla f(x_0,y_0,z_0)\) ja \(\nabla g(x_0,y_0,z_0)\) ovat kohtisuorassa jokaista sellaista pinnan \(g(x,y,z)=0\) käyrää vastaan pisteessä \((x_0,y_0,z_0)\), joka kulkee pisteen \((x_0,y_0,z_0)\) kautta. Niinpä vektoreiden \(\nabla f(x_0,y_0,z_0)\) ja \(\nabla g(x_0,y_0,z_0)\) täytyy olla yhdensuuntaiset.

Esimerkki 6.2.5

Mikä pinnan \(x^2-z^2=1\) piste on lähinnä origoa?

Piilota/näytä ratkaisu

Pinta on tasa-arvopinta \(g(x,y,z)=0\), missä

\(g(x,y,z)=x^2-z^2-1\). Otetaan minimoitavaksi funktioksi etäisyyden neliö \(f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2\). Kyseisellä pinnalla \(f\):llä ei ole maksimia ja minimi löytyy Lagrangen menetelmällä. Nyt \(\nabla f=(2x,2y,2z)\) ja \(\nabla g=(2x,0,-2z)\), joten Lagrangen menetelmän yhtälöryhmäksi saadaan

\[\begin{split}\left\{\begin{aligned} x^2-z^2&=1\\ 2x&=\lambda2x && \Leftrightarrow\ x=0\text{ tai }\lambda=1\\ 2y&=0 && \Leftrightarrow\ y=0\\ 2z&=-\lambda2z && \Leftrightarrow\ z=0\text{ tai }\lambda=-1 \end{aligned}\right.\end{split}\]

Jos yhtälöryhmällä on ratkaisuja, niin toisen yhtälön mukaan \(x=0\) tai \(\lambda=1\). Tutkitaan nämä kaksi vaihtoehtoa: Jos \(x=0\), niin ylin yhtälö ei toteudu millään \(z\), joten tällaisia ratkaisuja ei ole. Jos \(\lambda=1\), niin alimmasta yhtälöstä seuraa \(z=0\) ja siten ylimmästä \(x=\pm1\). Koska lisäksi kolmannen yhtälön mukaan \(y=0\), niin saadaan ääriarvopistekandidaatit \((-1,0,0)\) ja \((1,0,0)\). Funktion arvot näissä pisteissä ovat \(f(\pm1,0,0)=1\), eli etäisyys on \(\sqrt1=1\).

\(\nabla g\):n nollakohtien muodostama joukko (tasojen \(x=0\) ja \(z=0\) leikkaus eli \(y\)-akseli) ei ole tutkittavalla pinnalla.

Vastaus. Origoa lähinnä ovat pinnan pisteet \((-1,0,0)\) ja \((1,0,0)\), molemmat etäisyydellä \(1\).

Vastaus voitaisiin päätellä myös geometrisesti hahmottelemalla kyseinen hyperbelipinta \(z=\pm\sqrt{x^2-1}\) \(xyz\)-avaruuteen.

Lagrangen menetelmä voidaan edelleen yleistää useammalle side-ehdolle. Tällöin voidaan esimerkiksi tutkia funktion ääriarvoja kahden pinnan \(g(x,y,z)=0\) ja \(h(x,y,z)=0\) leikkauskäyrällä.

Lause 6.2.6

Olkoot funktiot \(f,g\) ja \(h\colon\R^3\to\R\) jatkuvasti differentioituvia. Jos funktiolla \(f\) on joukossa

\[\begin{aligned} C=\{(x,y,z)\in\R^3:\ g(x,y,z)=0\text{ ja }h(x,y,z)=0\} \end{aligned}\]

lokaali ääriarvo pisteessä \((x_0,y_0,z_0)\) ja \(\nabla g(x_0,y_0,z_0)\) ja \(\nabla h(x_0,y_0,z_0)\) ovat lineaarisesti riippumattomat, niin joillekin \(\lambda\) ja \(\mu\in\R\) pätee:

\[\begin{aligned} \nabla f(x_0,y_0,z_0)=\lambda\nabla g(x_0,y_0,z_0)+\mu\nabla h(x_0,y_0,z_0). \end{aligned}\]

Muistetaan, että vektorit \(\nabla g\) ja \(\nabla h\) ovat lineaarisesti riippumattomat jos ja vain jos \(\nabla g\ne\bo\), \(\nabla h\ne\bo\) ja \(\nabla g\) ja \(\nabla h\) eivät ole yhdensuuntaiset (ts. \(\nabla g\times\nabla h\ne\bo\).

Todistuksen idea

Piilota/näytä todistus

Olkoon \(f\):llä lokaali ääriarvo joukon \(C\) pisteessä \((x_0,y_0,z_0)\). Jos \(\nabla g(x_0,y_0,z_0)\ne(0,0,0)\) ja \(\nabla h(x_0,y_0,z_0)\ne(0,0,0)\), niin tasa-arvojoukot \(g(x,y,z)=0\) ja \(h(x,y,z)=0\) ovat sileitä pintoja pisteen \((x_0,y_0,z_0)\) lähellä. Koska näiden pintojen normaalivektorit \(\nabla g(x_0,y_0,z_0)\) ja \(\nabla h(x_0,y_0,z_0)\) eivät ole yhdensuuntaiset, niin pintojen leikkausjoukko \(C\) on sileä käyrä pisteen \((x_0,y_0,z_0)\) lähellä. Nähdään – samaan tapaan kuin lauseen 6.2.1 todistuksessa – että vektorit \(\nabla f(x_0,y_0,z_0)\), \(\nabla g(x_0,y_0,z_0)\) ja \(\nabla h(x_0,y_0,z_0)\) ovat kohtisuorassa käyrää \(C\) vastaan pisteessä \((x_0,y_0,z_0)\). Niinpä nämä vektorit sijaitsevat samalla tasolla. Lineaarisesta riippumattomuudesta seuraa, että \(\nabla g(x_0,y_0,z_0)\) ja \(\nabla h(x_0,y_0,z_0)\) virittävät ko. tason, joten \(\nabla f(x_0,y_0,z_0)\) on niiden lineaarikombinaatio.

Menetelmäksi muotoiltuna:

Lause 6.2.7 (Lagrangen menetelmä kolmen muuttujan funktiolle - 2 side-ehtoa)

Olkoot funktiot \(f,g\) ja \(h\colon\R^3\to\R\) jatkuvasti differentioituvia. Funktion \(f(x,y,z)\) lokaalit ääriarvopisteet side-ehtojen \(g(x,y,z)=0\) ja \(h(x,y,z)=0\) määräämässä joukossa löytyvät yhtälöryhmän

\[\begin{split}\begin{aligned} \begin{cases} g=0\\ h=0\\ \nabla f=\lambda\nabla g+\mu\nabla h \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} g=0\\ h=0\\ D_xf=\lambda D_xg+\mu D_xh\\ D_yf=\lambda D_yg+\mu D_yh\\ D_zf=\lambda D_zg+\mu D_zh \end{cases} \end{aligned}\end{split}\]

ratkaisuina tai ne ovat pisteitä \((x,y,z)\), joille \(g(x,y,z)=0\) ja \(h(x,y,z)=0\) sekä \(\nabla g(x,y,z)\) ja \(\nabla h(x,y,z)\) ovat lineaarisesti riippuvia.

Yleinen \(n\):n muuttujan ja \(k\):n side-ehdon menetelmä: ks. [ep].