\[\begin{split}\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bF}{\mathbf{F}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bR}{\mathbf{R}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\bA}{\mathbf{A}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\dist}{\operatorname{d}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\row}{\operatorname{row}} \newcommand{\col}{\operatorname{col}} \newcommand{\Null}{\operatorname{null}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\piste}{\boldsymbol{\cdot}} \newcommand{\kappale}{\newline \hspace{17pt}} \newcommand{\kohta}[1]{\textbf{#1)}\hspace{5px}} \newcommand{\kohtav}[1]{\hspace{7pt}\textbf{#1)}\hspace{5px}} \newcommand{\tilaa}{\vspace{7pt}\\} \newcommand{\bigfrac}[2]{{\displaystyle{\frac{#1}{#2}}}} \newcommand{\smallfrac}[2]{{\textstyle{\frac{#1}{#2}}}} \newcommand{\xn}[2]{(#1_1,#1_2,\ldots,#1_{#2})} \newcommand{\vastaus}[1]{\null\hfill({\footnotesize#1})} \newcommand{\mathvastaus}[1]{\eqno{\mbox{({\footnotesize#1})}}} \newcommand{\ep}[1]{\textnormal{ (\cite[#1]{ep})}} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}\end{split}\]

Lokaalit ja globaalit ääriarvot¶

Määritelmä 6.1.1

Funktiolla \(f\colon\R^n\to\R\) on joukossa \(D\subset\R^n\) pisteessä \(\ba\in D\)

(globaali) maksimi (maximum), jos \(f(\bx)\le f(\ba)\) kaikilla \(\bx\in D\),
(globaali) minimi (minimum), jos \(f(\bx)\ge f(\ba)\) kaikilla \(\bx\in D\),
lokaali maksimi, jos \(f(\bx)\le f(\ba)\) jossakin \(\ba\):n ympäristössä

\(\bx\in B(\ba,r)\cap D\), ja
lokaali minimi, jos \(f(\bx)\ge f(\ba)\) jossakin \(\ba\):n ympäristössä

\(\bx\in B(\ba,r)\cap D\).

Pistettä \(\ba\) kutsutaan ääriarvopisteeksi (minimipisteeksi tai maksimipisteeksi) ja arvoa \(f(\ba)\) ääriarvoksi (minimiarvoksi tai maksimiarvoksi). Funktion \(f\) globaalia maksimiarvoa joukossa \(D\) merkitään \(\max_Df\) ja minimiarvoa \(\min_Df\).

Esimerkki 6.1.2

Funktiolla \(f(x,y)=(\frac12-x^2+y^2)\exp(1-x^2-y^2)\) on kaksi lokaalia minimiä ja kaksi lokaalia maksimia (jotka tässä esimerkissä ovat myös globaaleja ääriarvoja).

../_images/lokminmax-eps-converted-to.svg

Avoimet ja suljetut joukot¶

Määritelmä 6.1.3

Olkoon \(A\subset\R^n\).

Piste \(\ba\in\R^n\) on joukon \(A\) reunapiste (boundary point), jos jokaisessa \(\ba\):n ympäristössä on sekä \(A\):n että \(A\):n komplementin pisteitä, ts.

\(A\cap B(\ba,r)\ne\emptyset\) ja \(A^c\cap B(\ba,r)\ne\emptyset\) jokaisella \(r>0\).
Joukon \(A\) reunapisteiden muodostamaa joukkoa kutsutaan \(A\):n reunaksi (boundary) ja merkitään \(\partial A\).
Joukon \(A\) sisäpisteiden (ks. määritelmä 3.3.7) muodostamaa joukkoa kutsutaan \(A\):n sisukseksi (interior) ja merkitään \(\operatorname{int}(A)\).
Joukkoa \(\overline{A}=A\cup\partial A\) kutsutaan \(A\):n sulkeumaksi (closure).
Joukko \(A\) on suljettu (closed), jos \(A\) sisältää kaikki reunapisteensä.
Joukko \(A\) on avoin (open), jos \(A\) ei sisällä yhtään reunapistettään.

Joukolle \(A\subset\R^n\) pätee:

\(\operatorname{int}(A)\subset A\subset\overline{A}\),
joukko \(A\) on avoin jos ja vain jos \(A=\operatorname{int}(A)\) ja
joukko \(A\) on suljettu jos ja vain jos \(A=\overline{A}\).

Tämän opintojakson esimerkeissä tasojoukko \(A\subset\R^2\) on enimmäkseen ”siisti” joukko, jonka reuna koostuu äärellisen monesta sileästä käyrästä. Tällöin joukko on suljettu, jos kaikki reunakäyrät kuuluvat joukkoon ja avoin, jos yksikään reunakäyrien piste ei kuulu joukkoon. Muissa tapauksissa joukko ei ole avoin eikä suljettu.

Esimerkki 6.1.4

a) Joukko \(A=\{(x,y)\in\R^2:\ x\ge0,\ y\ge0,\ x+y\le1\}\) on suljettu.

b) Joukko \(B=\{(x,y)\in\R^2:\ x>0,\ y>0,\ x+y<1\}\) on avoin.

c) Joukko \(C=\{(x,y)\in\R^2:\ x\ge0,\ y\ge0,\ x+y<1\}\) ei ole avoin eikä suljettu.

Vastaavasti jos avaruusjoukon \(A\subset\R^3\) reuna koostuu äärellisen monesta sileästä pinnasta (määritellään tarkemmin opintojaksolla Vektorianalyysi), niin joukko on suljettu, jos se sisältää kaikki reunapintansa.

Esimerkki 6.1.5

a) Joukko \(A=\{(x,y,z)\in\R^3:\ x^2+y^2\le z\le1\}\) on suljettu.

b) Joukko \(B=\{(x,y,z)\in\R^3:\ x^2+y^2<z<1\}\) on avoin.

c) Joukko \(C=\{(x,y,z)\in\R^3:\ x^2+y^2\le z<1\}\) ei ole avoin eikä suljettu.

../_images/paraabelijoukko-eps-converted-to_viilattu.svg

Joukon reuna ei välttämättä ole ”ohut”.

Esimerkki 6.1.6

Joukon \(A=\{(x,y)\in\R^2:\ x\in[0,1]\cap\Q,\ y\in[0,1]\}\) reuna on koko yksikköneliö \([0,1]\times[0,1]\) eikä joukolla \(A\) ole yhtään sisäpistettä.

Ääriarvojen hakeminen suljetussa ja rajoitetussa joukossa¶

Määritelmä 6.1.7

Joukko \(A\subset\R^n\) on rajoitettu (bounded), jos \(A\subset B(\bo,R)\) jollakin (suurella) \(R>0\). Muutoin joukko \(A\) on rajoittamaton.

Suljetulle ja rajoitetulle joukolle \(A\ne\emptyset\) voidaan määritellä halkaisija

\[\operatorname{diam}(A)=\max\{\|\bx-\by\|:\ \bx,\by\in A\}.\]

Rajoittamattomalle joukolle asetetaan \(\operatorname{diam}(A)=\infty\). Ei-suljetuille joukoille tätä maksimia ei välttämättä ole olemassa, mutta halkaisija voidaan niillekin määritellä supremumin avulla vastaavasti. Tällöin joukko \(A\) on rajoitettu, jos \(\operatorname{diam}(A)<\infty\). Käsitettä rajoitettu joukko ei tule sekoittaa käsitteeseen äärellinen joukko. Joukko on äärellinen, jos siinä on äärellisen monta alkiota.

Seuraava lause antaa riittävän ehdon ääriarvojen olemassaololle.

Lause 6.1.8 (Ääriarvojen olemassaolo)

Olkoon \(D\subset\R^n\) suljettu ja rajoitettu joukko sekä \(f\colon D\to\R\) jatkuva funktio. Tällöin \(f\) saavuttaa \(D\):ssä sekä pienimmän että suurimman arvonsa, ts. on olemassa \(\ba\) ja \(\bb\in D\) siten, että \(f(\ba)=\min_Df\) ja \(f(\bb)=\max_Df\).

Piilota/näytä todistus

Sivuutetaan. Väitteen todistamiseksi tarvittaisiin \(\R^n\):n suljettujen ja rajoitettujen joukkojen (eli kompaktien joukkojen) syvällisempää analysointia, ks. esimerkiksi [apostol] tai [trench]. Seuraava esimerkki osoittaa, miksi kaikki oletukset (joukko on suljettu, joukko on rajoitettu ja funktio on jatkuva) ovat tarpeen. Vertaa vastaavaan lauseeseen yhden muuttujan reaaliarvoiselle funktioille [Plussa: APK, Lause 5.6.2].

Esimerkki 6.1.9

a) \(f\colon B(\bo,1)\to\R,\ f(x,y)=x^2+y^2\). Funktio on jatkuva ja joukko on rajoitettu, mutta joukko ei ole suljettu. \(f\):llä on minimi \(f(0,0)=0\), mutta ei maksimia (vasemmanpuoleinen kuva).

b) \(f\colon\R^2\to\R,\ f(x,y)=x^2+y^2\). Funktio on jatkuva ja joukko on suljetuttu, mutta joukko ei ole rajoitettu. \(f\):llä on minimi \(f(0,0)=0\), mutta ei maksimia.

c) \(f\colon\overline{B}(\bo,1)\to\R,\ f(x,y)=x^2+y^2\). Funktio on jatkuva ja joukko on sekä suljettu että rajoitettu. \(f\):llä on minimi \(f(0,0)=0\) ja maksimi \(1\) reunaympyrällä \(\partial B(\bo,1)\) (oikeanpuoleinen kuva).

d) \(f\colon\overline{B}(\bo,1)\to\R,\ f(x,y)=\begin{cases}\ x^2+y^2,&\text{kun } (x,y)\ne(0,0),\\\ 2,&\text{kun } (x,y)=(0,0).\end{cases}\)

Joukko on suljettu ja rajoitettu, mutta funktio ei ole jatkuva. \(f\):llä on maksimi \(f(0,0)=2\), mutta ei minimiä (vertaa oikeanpuoleiseen kuvaan).

Lause 6.1.10 (Välttämätön ehto lokaalille ääriarvolle)

Jos funktiolla \(f\colon\R^n\to\R\) on lokaali ääriarvopiste \(\ba\) ja \(f\):llä on kaikki osittaisderivaatat pisteessä \(\ba\), niin kaikki \(f\):n osittaisderivaatat ovat nollia \(\ba\):ssa eli

\[\frac{\partial f}{\partial x_i}(\ba)=0\]

kaikilla \(i=1,\ldots,n\).

Piilota/näytä todistus

Todistetaan väite funktiolle \(f\colon\R^2\to\R\) (\(n\):n muuttujan tapaus vastaavasti). Oletetaan, että \((a,b)\in\R^2\) on funktion \(f\) lokaali maksimipiste ja että on olemassa \(\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)\).

a) Jos olisi \(\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)>0\), niin kaikilla pienillä \(h>0\) olisi

\[\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h}>0\ \Leftrightarrow\ f(a+h,b)>f(a,b).\]

Tämä on ristiriita sen kanssa, että \((a,b)\) on lokaali maksimipiste. On siis oltava \(\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)\le0\).

b) Jos taas olisi \(\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)<0\), niin kaikilla itseisarvoltaan pienillä \(h<0\) olisi

\[\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h}<0\ \Leftrightarrow\ f(a+h,b)>f(a,b).\]

Tämä on ristiriita sen kanssa, että \((a,b)\) on lokaali maksimipiste. On siis oltava \(\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)\ge0\).

Kohtien a) ja b) nojalla on oltava \(\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)=0\).

Minimipisteen tapaus vastaavasti.

Tapauksessa \(f\colon\R^2\to\R\) lauseen 6.1.10 väite tarkoittaa geometrisesti sitä, että ääriarvopisteessä kuvaajan \(z=f(x,y)\) tangenttitaso on vaakasuorassa. Piste, jossa kaikki osittaisderivaatat ovat nollia, ei kuitenkaan välttämättä ole ääriarvopiste. Pistettä, jossa osittaisderivaatat ovat nollia, mutta joka ei kuitenkaan ole lokaali ääriarvopiste, kutsutaan satulapisteeksi (saddle point).

Esimerkki 6.1.11

Seuraavien funktioiden osittaisderivaatat ovat nollia pisteessä \((0,0)\):

a) Funktiolla \(f(x,y)=x^2+y^2\) on lokaali minimi pisteessä \((0,0)\).

b) Funktiolla \(f(x,y)=1-x^2-y^2\) on lokaali maksimi pisteessä \((0,0)\).

c) Funktiolle \(f(x,y)=x^2-y^2\) piste \((0,0)\) on satulapiste.

Yhdistetään lauseet 6.1.8 ja 6.1.10 seuraavaksi ääriarvojen etsintäohjeeksi:

Lause 6.1.12 (Globaalien ääriarvojen etsintäohje)

Olkoon \(D\subset\R^n\) suljettu ja rajoitettu joukko sekä \(f\colon D\to\R\) jatkuva funktio. \(f\) saavuttaa tällöin sekä suurimman että pienimmän arvonsa joukossa \(D\). Jos \(f(\ba)\) on \(f\):n globaali minimi tai maksimi, niin \(\ba\) on

\(D\):n sisäpiste, jossa \(f\):n kaikki osittaisderivaatat ovat nollia,
\(D\):n sisäpiste, jossa \(f\):llä ei ole kaikkia osittaisderivaattoja, tai
\(D\):n reunapiste.

Tapauksissa (1) ja (2) pistettä \(\ba\) kutsutaan kriittiseksi pisteeksi (critical point). Ääriarvoja määritettäessä haetaan yleensä ensin kriittiset pisteet eli tyypin (1) ja (2) pisteet, joita on tyypillisesti vain muutama (tyypin (2) pisteitä ei ollenkaan, jos \(f\):llä on kaikki osittaisderivaatat jokaisessa sisäpisteessä). Reunapisteet tarkastellaan erikseen esimerkiksi parametrisoimalla reunakäyrä. Saadaan joukko ääriarvokandidaatteja, joista poimitaan pienin ja suurin.

Esimerkki 6.1.13

Tarkastellaan menetelmää ensin kolmen yksinkertaisen esimerkin avulla. Etsi kussakin kohdassa funktion \(f(x,y)\) suurin ja pienin arvo kiekossa \(D=\{(x,y)\in\R^2:\ x^2+y^2\le1\}\).

a) \(f(x,y)=1-x^2-y^2\).

b) \(f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}\).

c) \(f(x,y)=1-x\).

Piilota/näytä ratkaisu

a) \(f(x,y)=1-x^2-y^2\).

Kriittiset pisteet.

\[\begin{split}\left\{\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x}&=-2x=0\\[5pt] \frac{\partial f}{\partial y}&=-2y=0 \end{aligned}\right.\end{split}\]

Yhtälöparin ainoa ratkaisu on \(x=0\) ja \(y=0\), ts. piste \((x,y)=(0,0)\). Funktion arvo kyseisessä pisteessä on \(f(0,0)=1\).

Reuna. Reunalla \(x^2+y^2=1\), joten siellä funktion arvo on \(f(x,y)=1-(x^2+y^2)=0\).

Vastaus. \(\max_Df=f(0,0)=1\) ja \(\min_Df=0\), joka saavutetaan kaikissa reunan \(x^2+y^2=1\) pisteissä.

b) \(f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}\).

Kriittiset pisteet.

\[\begin{split}\left\{\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x}&=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\\[5pt] \frac{\partial f}{\partial y}&=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \end{aligned}\right.\end{split}\]

Osittaisderivaatoilla ei ole yhteisiä nollakohtia, mutta origossa osittaisderivaattoja ei ole, joten \((x,y)=(0,0)\) on kriittinen piste. Funktion arvo kyseisessä pisteessä on \(f(0,0)=0\).

Reuna. Reunalla \(x^2+y^2=1\), joten siellä funktion arvo on \(f(x,y)=1\).

Vastaus. \(\max_Df=1\), joka saavutetaan kaikissa reunan \(x^2+y^2=1\) pisteissä ja \(\min_Df=f(0,0)=0\).

c) \(f(x,y)=1-x\).

Kriittiset pisteet.

\[\begin{split}\left\{\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x}&=-1\\[5pt] \frac{\partial f}{\partial y}&=0 \end{aligned}\right.\end{split}\]

Osittaisderivaatat on olemassa kaikkilla \((x,y)\), mutta niillä ei ole yhteisiä nollakohtia. Kriittisiä pisteitä ei ole, joten suurin ja pienin arvo saavutetaan reunalla.

Reuna. Reunalla \(x^2+y^2=1\) \(x\):n pienin arvo on \(-1\) ja suurin arvo \(1\). Molemmissa tapauksissa \(y=0\).

Vastaus. \(\max_Df=f(-1,0)=2\) ja \(\min_Df=f(1,0)=0\).

Huomautus 6.1.14

Esimerkin 6.1.13 b)-kohdassa se, että osittaisderivaatalla ei ole raja-arvoa origossa, ei vielä välttämättä takaa, etteikö \(f\):llä voisi olla osittaisderivaattaa origossa (ks. Plussa: APK, Huomautus 5.6.21 (2)). Käytännössä kuitenkin ääriarvotehtävissä tarkastetaan kaikki pisteet, joissa jollakin osittaisderivaatalla ei ole raja-arvoa, sillä menetelmän ideana on vain rajata tarkastettavien pisteiden joukko niin pieneksi, että pisteiden läpikäynti on mahdollista.

Esimerkki 6.1.15

Hae funktion \(f(x,y)=xy(1-x-y)\) suurin ja pienin arvo kolmiojoukossa \(D=\{(x,y)\in\R^2:\ y\le2x,\ 0\le x\le1,\ y\ge0\}\).

Piilota/näytä ratkaisu

Kriittiset pisteet. \(f(x,y)=xy-x^2y-xy^2\), joten

\[\begin{split}\begin{aligned} &\begin{cases} \dfrac{\partial f}{\partial x}=y-2xy-y^2=y(1-2x-y)=0\\[10pt] \dfrac{\partial f}{\partial y}=x-x^2-2xy=x(1-x-2y)=0 \end{cases}\\ &\Leftrightarrow\ (y=0\text{ tai }1-2x-y=0)\text{ ja }(x=0\text{ tai }1-x-2y=0). \end{aligned}\end{split}\]

Kriittisiksi pisteiksi saadaan \((x,y)=(0,0)\), \((1,0)\), \((0,1)\) ja \((1/3,1/3)\). Näistä kaksi ensimmäistä pistettä ovat joukon \(D\) reunalla ja kolmas ei kuulu joukkoon \(D\) (ks. kuva). Vain viimeinen piste on joukon \(D\) sisäpiste ja \(f(1/3,1/3)=1/27\approx0{,}0370\).

Reuna. Reuna koostuu kolmesta janasta.

\(\boxed{y=0}\) \(f(x,0)=0\), eli \(f=0\) tällä reunajanalla.

\(\boxed{x=1}\) \(f(1,y)=-y^2=:g(y)\). \(g(y)\) on vähenevä funktio joukossa \(0\le y\le2\), joten \(f\):n suurin arvo tällä reunajanalla on \(f(1,0)=0\) ja pienin \(f(1,2)=-4\).

\(\boxed{y=2x}\) \(f(x,2x)=-6x^3+2x^2=:h(x)\). Haetaan \(h(x)\):n ääriarvot joukossa \(0\le x\le1\). \(h'(x)=-18x^2+4x=2x(-9x+2)=0\ \Leftrightarrow\ x=0\) tai \(x=2/9\). Tältä janalta ääriarvokandidaateiksi saadaan \(h\):n derivaatan nollakohdista ja välin päätepisteistä \(f(0,0)=0\), \(f(2/9,4/9)=8/243\approx0{,}0329\) ja \(f(1,2)=-4\).

Vastaus. \(\max_Df=f(1/3,1/3)=1/27\) ja \(\min_Df=f(1,2)=-4\).

Huomautus 6.1.16

Toisin kuin lineaarisen funktion optimoinnissa, ei-lineaarisen funktion ääriarvojen löytämiseksi ei riitä laskea :math:`f`:n arvot pelkästään joukon ”kulmapisteissä”.

Esimerkki 6.1.17

Hae funktion \(f(x,y)=x^2+2y^2-x\) suurin ja pienin arvo kiekossa \(D=\{(x,y)\in\R^2:\ x^2+y^2\le1\}\).

Piilota/näytä ratkaisu

Kriittiset pisteet.

\[\begin{split}\begin{aligned} \begin{cases} \dfrac{\partial f}{\partial x}=2x-1=0\\[10pt] \dfrac{\partial f}{\partial y}=4y=0 \end{cases} \end{aligned}\end{split}\]

Ainoa kriittinen piste on \((x,y)=(1/2,0)\in D\) ja \(f(1/2,0)=-1/4\).

Reuna, tapa 1. Parametrisoidaan reuna: \(\br(t)=(\cos t,\sin t)\), \(0\le t\le2\pi\). Nyt \(x=\cos t\) ja \(y=\sin t\), joten

\[f(\br(t))=f(\cos t,\sin t)=\cos^2t+2\sin^2t-\cos t=:g(t).\]

On haettava \(g(t)\):n ääriarvot välillä \(0\le t\le2\pi\). Selvitetään derivaatan nollakohdat:

\[\begin{split}\begin{aligned} &g'(t)=-2\cos t\sin t+4\sin t\cos t+\sin t=\sin t(2\cos t+1)=0\\ \Leftrightarrow\ &\sin t=0\text{ tai }\cos t=-\frac12\\ \Leftrightarrow\ &t=0,\,\pi,\,2\pi,\,\frac{2\pi}{3}\text{ tai }\frac{4\pi}{3} \end{aligned}\end{split}\]

Funktion arvot: \(g(0)=0\), \(g(\pi)=2\), \(g(2\pi)=0\), \(g(2\pi/3)=9/4\) ja \(g(4\pi/3)=9/4\) (välin päätepisteet sisältyvät näihin).

Reuna, tapa 2. Reunalla on \(y^2=1-x^2\), joten \(f(x,y)=-x^2-x+2=:h(x)\). On haettava \(h(x)\):n ääriarvot välillä \(-1\le x\le1\). Selvitetään derivaatan nollakohdat: \(h'(x)=-2x-1=0\) \(\Leftrightarrow\) \(x=-1/2\). Arvot välin päätepisteissä ja derivaatan nollakohdassa: \(h(-1)=2\), \(h(-1/2)=9/4\) ja \(h(1)=0\).

Vastaus. \(\max_Df=f(-1/2,\pm\sqrt{3}/2)=9/4\) ja \(\min_Df=f(1/2,0)=-1/4\).

Ääriarvot joukossa, joka ei ole suljettu ja rajoitettu¶

Jos tarkastelujoukko \(D\) ei ole suljettu ja rajoitettu, niin tarkastelu hieman mutkistuu. Voidaan koettaa esimerkiksi seuraavankaltaisia keinoja.

Jos jollakin tarkastelujoukon \(D\) käyrällä \(f\to\infty\), niin voidaan päätellä, että \(f\) ei saavuta suurinta arvoaan joukossa \(D\).
Jos jossakin suljetussa ja rajoitetussa osajoukossa \(R\subset D\) \(f\) saavuttaa maksiminsa \(M\) ja osoitetaan, että \(R\):n ulkopuolella \(f\le M\), niin voidaan päätellä, että \(f\) saavuttaa \(D\):ssä suurimman arvonsa \(M\).

Esimerkki 6.1.18

Onko funktiolla \(f(x,y)=x^4+y^4-3x^2y^2\) suurinta tai pienintä arvoa joukossa \(D=\R^2\)?

Piilota/näytä ratkaisu

\(x\)-akselilla (\(y=0\)) on \(f=f(x,0)=x^4\to\infty\), kun \(x\to\infty\), joten \(f\):llä ei ole maksimia. Toisaalta suoralla \(y=x\) on \(f=f(x,x)=-x^4\to-\infty\), kun \(x\to\infty\), joten \(f\):llä ei ole myöskään minimiä.

Esimerkki 6.1.19

Onko funktiolla \(f(x,y)=x^3+y^3-x^4-y^4\) suurinta tai pienintä arvoa joukossa \(D=\R^2\)?

Piilota/näytä ratkaisu

Kirjoitetaan \(f(x,y)=(x^3-x^4)+(y^3-y^4)\). Tässä \(x^3-x^4\to-\infty\), kun \(x\to\pm\infty\) ja \(y^3-y^4\to-\infty\), kun \(y\to\pm\infty\). Niinpä pienintä arvoa ei ole ja toisaalta on olemassa \(M>0\) siten, että \(x^3-x^4\le0\), kun \(|x|\ge M\) ja \(y^3-y^4\le0\), kun \(|y|\ge M\). Siten \(f(x,y)\le0\) neliön

\[R=\{(x,y)\in\R^2:\ -M\le x\le M,\ -M\le y\le M\}\]

ulkopuolella. \(f\):n suurin arvo neliössä (ja siten koko \(\R^2\):ssa) löytyy kriittisestä pisteestä:

\[\begin{split}\begin{aligned} &\begin{cases} \dfrac{\partial f}{\partial x}=3x^2-4x^3=x^2(3-4x)=0\\[10pt] \dfrac{\partial f}{\partial y}=3y^2-4y^3=y^2(3-4y)=0 \end{cases}\\ &\Leftrightarrow\ (x,y)=(0,0),\ (0,3/4),\ (3/4,0)\text{ tai }(3/4,3/4). \end{aligned}\end{split}\]

\(f(0,0)=0\), \(f(0,3/4)=f(3/4,0)=27/256\) ja \(f(3/4,3/4)=27/128\).

Vastaus. Pienintä arvoa ei ole, suurin arvo on \(f(3/4,3/4)=27/128\).

Esimerkki 6.1.20

Ylhäältä avoimen suorakulmaisen särmiön muotoisen laatikon tilavuus on \(V\). Miten laatikon mitat on valittava, jotta viiden sivun yhteenlaskettu pinta-ala olisi mahdollisimman pieni?

Piilota/näytä ratkaisu

Merkitään laatikon pituutta \(x\):llä, leveyttä \(y\):llä ja korkeutta \(z\):lla, jolloin pinta-ala on \(A=xy+2xz+2yz\). Tilavuus on \(V=xyz\), josta voidaan ratkaista \(z=V/(xy)\). Sijoittamalla tämä pinta-alan lausekkeeseen saadaan minimoitavaksi kahden muuttujan funktio

\[A(x,y)=xy+\frac{2V}{y}+\frac{2V}{x}\]

joukossa \(D=\{(x,y)\in\R^2:\ x>0,\ y>0\}\). Kriittiset pisteet:

\[\begin{split}\begin{aligned} \begin{cases} \dfrac{\partial A}{\partial x}=y-\dfrac{2V}{x^2}=0\\[10pt] \dfrac{\partial A}{\partial y}=x-\dfrac{2V}{y^2}=0 \end{cases} \ \Leftrightarrow\ \begin{cases} x^2y=2V\\ xy^2=2V \end{cases} \ \Rightarrow\ x^2y=xy^2\ \mathop{\Leftrightarrow}^{x,y>0}\ x=y \end{aligned}\end{split}\]

Sijoittamalla tämä ylempään yhtälöön saadaan \(x=y=(2V)^{1/3}\) (jolloin \(A(x,y)=3(2V)^{2/3}=:A_0\) ja \(z=V/(xy)=2^{-2/3}V^{1/3}=x/2\)). Tämän ainoan kriittisen pisteen täytyy olla minimipiste, sillä \(A(x,y)\to\infty\), kun \((x,y)\) lähestyy koordinaattiakselia tai kun \(\|(x,y)\|\to\infty\). Tarkemmin: valitaan suorakulmio \(R\) oheisen kuvan mukaisesti siten, että sivun I suuntaisen suoran alapuolella \(2V/y>A_0\), sivun II suuntaisen suoran vasemmalla puolella \(2V/x>A_0\) ja muualla \(D\):ssä \(R\):n ulkopuolella \(xy>A_0\). Silloin suorakulmion \(R\) ulkopuolella \(A(x,y)>A_0\) ja suljetussa ja rajoitetussa joukossa \(R\) saavutettava jatkuvan funktion \(A(x,y)\) minimi on \(A(x,y)\):n minimi koko joukossa \(D\).

Vastaus. Laatikon leveydeksi ja pituudeksi on valittava \((2V)^{1/3}\) ja korkeudeksi \((2V)^{1/3}/2\).