\[\begin{split}\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bbf}{\mathbf{f}}
\newcommand{\bF}{\mathbf{F}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bi}{\mathbf{i}}
\newcommand{\bj}{\mathbf{j}}
\newcommand{\bk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bo}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bR}{\mathbf{R}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\re}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\bA}{\mathbf{A}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\dist}{\operatorname{d}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{proj}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
\newcommand{\Span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\row}{\operatorname{row}}
\newcommand{\col}{\operatorname{col}}
\newcommand{\Null}{\operatorname{null}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\piste}{\boldsymbol{\cdot}}
\newcommand{\kappale}{\newline \hspace{17pt}}
\newcommand{\kohta}[1]{\textbf{#1)}\hspace{5px}}
\newcommand{\kohtav}[1]{\hspace{7pt}\textbf{#1)}\hspace{5px}}
\newcommand{\tilaa}{\vspace{7pt}\\}
\newcommand{\bigfrac}[2]{{\displaystyle{\frac{#1}{#2}}}}
\newcommand{\smallfrac}[2]{{\textstyle{\frac{#1}{#2}}}}
\newcommand{\xn}[2]{(#1_1,#1_2,\ldots,#1_{#2})}
\newcommand{\vastaus}[1]{\null\hfill({\footnotesize#1})}
\newcommand{\mathvastaus}[1]{\eqno{\mbox{({\footnotesize#1})}}}
\newcommand{\ep}[1]{\textnormal{ (\cite[#1]{ep})}}
\newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]}
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}}
\newcommand{\qedhere}{}\end{split}\]
Differentioituvuus
Luvussa ?? reaaliarvoista funktiota \(f\colon\R^n\to\R\) approksimoitiin pisteen \(\ba\in\R^n\) suhteen derivaattamatriisia käyttäen:
\[f(\ba+\bh)\approx f(\ba)+f'(\ba)\bh,\]
missä
\[\begin{split}f'(\ba)=
\begin{bmatrix}
\dfrac{\partial f}{\partial x_1}(\ba)&\dfrac{\partial f}{\partial x_2}(\ba)&\cdots&\dfrac{\partial f}{\partial x_n}(\ba)
\end{bmatrix}
\qquad\text{ja}\qquad
\bh=\begin{bmatrix}h_1\\h_2\\\vdots\\h_n\end{bmatrix}.\end{split}\]
Yleistetään derivaattamatriisi, differentioituvuus ja lineaarinen approksimointi funktiolle \(F\colon\R^n\to\R^m\).
Merkintää \(D_if_j(\bx)=\dfrac{\partial f_j}{\partial x_i}(\bx)\) käyttäen voidaan kirjoittaa
\[\begin{split}F'(\bx)=
\begin{bmatrix}
D_1f_1(\bx)&D_2f_1(\bx)&\cdots&D_nf_1(\bx)\\
D_1f_2(\bx)&D_2f_2(\bx)&\cdots&D_nf_2(\bx)\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
D_1f_m(\bx)&D_2f_m(\bx)&\cdots&D_nf_m(\bx)
\end{bmatrix}.\end{split}\]
Nyt (kerro matriisin \(F'(\ba)\) rivit pystyvektorilla \(\bh\))
\[\begin{split}\begin{aligned}
F'(\ba)\bh
=\begin{bmatrix}
\dfrac{\partial f_1}{\partial x_1}(\ba)h_1+\dfrac{\partial f_1}{\partial x_2}(\ba)h_2+\cdots+\dfrac{\partial f_1}{\partial x_n}(\ba)h_n\\[13pt]
\dfrac{\partial f_2}{\partial x_1}(\ba)h_1+\dfrac{\partial f_2}{\partial x_2}(\ba)h_2+\cdots+\dfrac{\partial f_2}{\partial x_n}(\ba)h_n\\[13pt]
\vdots\\
\dfrac{\partial f_m}{\partial x_1}(\ba)h_1+\dfrac{\partial f_m}{\partial x_2}(\ba)h_2+\cdots+\dfrac{\partial f_m}{\partial x_n}(\ba)h_n\\[13pt]
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
f_1'(\ba)\bh\\
f_2'(\ba)\bh\\
\vdots\\
f_m'(\ba)\bh
\end{bmatrix}
\end{aligned}\end{split}\]
ja siten
(1)\[\begin{split}F(\ba)+F'(\ba)\bh
=
\begin{bmatrix}
f_1(\ba)\\
f_2(\ba)\\
\vdots\\
f_m(\ba)
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
f_1'(\ba)\bh\\
f_2'(\ba)\bh\\
\vdots\\
f_m'(\ba)\bh
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
f_1(\ba)+f_1'(\ba)\bh\\
f_2(\ba)+f_2'(\ba)\bh\\
\vdots\\
f_m(\ba)+f_m'(\ba)\bh
\end{bmatrix}.\end{split}\]
Summa \(F(\ba)+F'(\ba)\bh\) on \(m\times1\)-matriisi, jonka alkioina ovat \(F\):n koordinaattifunktioiden \(f_j\) lineaariset approksimaatiot pisteen \(\ba\in\R^n\) suhteen. Niinpä määrittelemme:
Lineaarikuvausta \(L\colon\R^n\to\R^m\), \(L(\bh)=F'(\ba)\bh\) kutsutaan funktion \(F\) derivaataksi (derivative) pisteessä \(\ba\). Jos merkitään \(\bx=\ba+\bh\), niin
funktio \(T\colon\R^n\to\R^m\),
(3)\[T(\bx)=F(\ba)+F'(\ba)(\bx-\ba)\]
on \(F\):n linearisointi pisteen \(\ba\) suhteen ja arvio
(4)\[F(\ba+\bh)\approx F(\ba)+F'(\ba)\bh=F(\ba)+L(\bh)\]
eli \(F(\bx)\approx T(\bx)\) on funktion \(F\) lineaarinen approksimaatio pisteen \(\ba\) suhteen.
Esimerkki 5.3.3
Olkoon \(F\colon\R^3\to\R^2\), \(F(x,y,z)=\left(x^2+yz,\,y^2-x\ln z\right)\). Kirjoita \(F\):n linearisointi pisteen \((2,2,1)\) suhteen ja arvioi sillä \(F\):n arvoa pisteessä \((1{,}98,\,2{,}01,\,1{,}03)\).
Piilota/näytä ratkaisu
Lasketaan derivaattamatriisi:
\[\begin{split}F'(x,y,z)=
\begin{bmatrix}
\dfrac{\partial f_1}{\partial x}&\dfrac{\partial f_1}{\partial y}&\dfrac{\partial f_1}{\partial z}\\[13pt]
\dfrac{\partial f_2}{\partial x}&\dfrac{\partial f_2}{\partial y}&\dfrac{\partial f_2}{\partial z}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2x & z & y\\
-\ln z & 2y & -x/z
\end{bmatrix},\end{split}\]
joten
\[\begin{split}F'(2,2,1)=
\begin{bmatrix}
4 & 1 & 2\\
0 & 4 & -2
\end{bmatrix}.\end{split}\]
Koska \(F(2,2,1)=(6,4)\), niin linearisoinniksi (3) saadaan
\[\begin{split}\begin{aligned}
T(x,y,z)&=\pysty{6\\4}+
\begin{bmatrix}
4 & 1 & 2\\
0 & 4 & -2
\end{bmatrix}
\pysty{x-2\\y-2\\z-1}
=\pysty{6\\4}+\pysty{4x+y+2z-12\\4y-2z-6}\\
&=\pysty{4x+y+2z-6\\4y-2z-2}
=(4x+y+2z-6,\,4y-2z-2).
\end{aligned}\end{split}\]
Tässä matriisitulon (ja summan) laskemista varten vektorit täytyy kirjoittaa pystyvektoreina. Funktion lauseke voidaan lopuksi ilmoittaa pysty- tai vaakavektorina. Kysytty arvio on nyt
\[\begin{split}\begin{aligned}
&F(1{,}98,\,2{,}01,\,1{,}03)\approx T(1{,}98,\,2{,}01,\,1{,}03)\\
&=(4\cdot1{,}98+2{,}01+2\cdot1{,}03-6,\,4\cdot2{,}01-2\cdot1{,}03-2)
=(5{,}99,\,3{,}98).
\end{aligned}\end{split}\]
Voitaisiin laskea myös suoraan erotuksia \(\Delta x=1{,}98-2=-0{,}02\), \(\Delta y=2{,}01-2=0{,}01\) ja \(\Delta z=1{,}03-1=0{,}03\) käyttäen: merkitään \(\bh=\begin{bmatrix}\Delta x & \Delta y & \Delta z\end{bmatrix}^T\), jolloin arvio (4) on
\[\begin{split}F(1{,}98,\,2{,}01,\,1{,}03)\approx
\pysty{6\\4}+
\begin{bmatrix}
4 & 1 & 2\\
0 & 4 & -2
\end{bmatrix}
\pysty{-0{,}02\\0{,}01\\0{,}03}
=\pysty{5{,}99\\3{,}98}.\end{split}\]
Tulosta voi verrata oikeaan nelidesimaaliseen likiarvoon \(F(1{,}98,\,2{,}01,\,1{,}03)\approx(5{,}9907,\,3{,}9816)\).
Voidaan osoittaa, että lineaarinen approksimaatio toimii vain differentioituville funktioille ja derivaattamatriisille. Vertaa vastaavaan tulokseen yhden muuttujan raaaliarvoiselle funktiolle (lause 4.1.1).
Lause 5.3.4
\(F\colon\R^n\to\R^m\) on differentioituva pisteessä \(\ba\) jos ja vain jos on olemassa \(m\times n\)-matriisi \(M\), jolle
\[\begin{aligned}
F(\ba+\bh)=F(\ba)+M\bh+\mathcal{E}(\bh)\|\bh\|,
\end{aligned}\]
missä \(\mathcal{E}(\bh)\to\bo\), kun \(\bh\to\bo\). Tällöin \(M=F'(\ba)\).
Huomautus 5.3.5
Differentioituvuuden määritelmän ehto (2) voidaan esittää yhtäpitävästi erotusosamäärämuodossa
\[\begin{aligned}
\lim_{\bh\to\bo}\frac{F(\ba+\bh)-F(\ba)-F'(\ba)\bh}{\|\bh\|}=\bo.
\end{aligned}\]
Lause 5.3.6
Differentioituva funktio \(F\colon\R^n\to\R^m\) on jatkuva.
Lause 5.3.7
Funktio \(F=(f_1,\ldots,f_m)\colon\R^n\to\R^m\) on differentioituva pisteessä \(\ba\in\R^n\) jos ja vain jos jokainen koordinaattifunktio \(f_j\) on differentioituva pisteessä \(\ba\).
Piilota/näytä todistus
Merkitse \(\mathcal{E}(\bh)=\begin{bmatrix}\epsilon_1(\bh) & \cdots & \epsilon_m(\bh)\end{bmatrix}^T\) ja kirjoita yhtälö (2) komponenteittain yhtälöä (1) käyttäen.
Käytännössä funktion \(F\) differentioituvuus todetaan osittaisderivaattojen avulla:
Lause 5.3.9
Jos funktio \(F\colon\R^n\to\R^m\) on jatkuvasti differentioituva, niin \(F\) on differentioituva.
Käänteinen väite ei päde: \(F\) voi olla differentioituva pisteessä \(\ba\), jossa kaikki osittaisderivaatat eivät ole jatkuvia. Yhteenvetona todetaan, että seuraavat implikaatiot pätevät, mutta käänteiset väitteet eivät päde:
