\[\begin{split}\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bF}{\mathbf{F}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bR}{\mathbf{R}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\bA}{\mathbf{A}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\dist}{\operatorname{d}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\row}{\operatorname{row}} \newcommand{\col}{\operatorname{col}} \newcommand{\Null}{\operatorname{null}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\piste}{\boldsymbol{\cdot}} \newcommand{\kappale}{\newline \hspace{17pt}} \newcommand{\kohta}[1]{\textbf{#1)}\hspace{5px}} \newcommand{\kohtav}[1]{\hspace{7pt}\textbf{#1)}\hspace{5px}} \newcommand{\tilaa}{\vspace{7pt}\\} \newcommand{\bigfrac}[2]{{\displaystyle{\frac{#1}{#2}}}} \newcommand{\smallfrac}[2]{{\textstyle{\frac{#1}{#2}}}} \newcommand{\xn}[2]{(#1_1,#1_2,\ldots,#1_{#2})} \newcommand{\vastaus}[1]{\null\hfill({\footnotesize#1})} \newcommand{\mathvastaus}[1]{\eqno{\mbox{({\footnotesize#1})}}} \newcommand{\ep}[1]{\textnormal{ (\cite[#1]{ep})}} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}\end{split}\]

Lineaarinen approksimointi ja differentioituvuus¶

Kahden muuttujan funktiot¶

Kerrataan aluksi yhden muuttujan funktion derivaatan määritelmää ja derivaatan avulla tehtävää lineaarista approksimaatiota. Määritelmän mukaan yhden muuttujan reaaliarvoinen funktio \(f\colon\R\to\R\) on derivoituva pisteessä \(a\), jos erotusosamäärällä on olemassa raja-arvo, ts.

\[f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.\]

Kirjoitetaan tämä muodossa

\[\lim_{h\to0}\left(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-f'(a)\right)=0\]

ja merkitään sulkulauseketta \(\epsilon(h)\):lla, eli

\[\epsilon(h)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-f'(a).\]

Ratkaistaan tästä \(f(a+h)\):

(1)¶\[\underbrace{f(a+h)}_{\text{tarkka arvo}}=\underbrace{f(a)+f'(a)h}_{\text{arvio}}+\underbrace{h\epsilon(h)}_{\text{virhe}},\]

missä \(\epsilon(h)\) on funktio, jolle \(\epsilon(h)\to0\), kun \(h\to0\). Esitystä (1) kutsutaan funktion \(f\) differentiaalikehitelmäksi pisteessä \(a\). Päättely voidaan kääntää myös toiseen suuntaan, eli differentiaalikehitelmästä seuraa derivoituvuus:

Lause 4.1.1

Funktio \(f\colon(c,d)\to\R\) on derivoituva pisteessä \(a\in(c,d)\) jos ja vain jos on olemassa \(A\in\R\) ja funktio \(\epsilon\colon\R\to\R\) siten, että \(\lim\limits_{h\to0}\epsilon(h)=0\) ja

\[f(a+h)=f(a)+Ah+h\epsilon(h)\]

kaikilla (itseisarvoltaan pienillä) \(h\in\R\). Tällöin \(A=f'(a)\).

Jättämällä yhtälöstä (1) pois virhetermi \(h\epsilon(h)\) saadaan arvio funktion arvolle \(f(a+h)\):

(2)¶\[f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h=f(a)+L(h).\]

Tätä arviota kutsutaan lineaariseksi approksimaatioksi pisteen \(a\) suhteen. \(L\) on lineaarinen funktio, joka määritellään asettamalla

\[L\colon\R\to\R,\ L(h)=f'(a)h.\]

\(f\):n arvio on siis muotoa vakio + lineaarikuvaus. Jos merkitään \(x=a+h\), niin arvio (2) saadaan muotoon

\[f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)=f(a)+L(x-a).\]

Tässä oikean puolen funktio

(3)¶\[T(x)=f(a)+f'(a)(x-a)=f(a)+L(x-a)\]

on funktio, jonka kuvaaja on \(f\):n kuvaajan pisteeseen \((a,f(a))\) piirretty tangenttisuora. Funktiosta \(T(x)\) käytetään nimityksiä \(f\):n lineaarinen approksimaatio (arvio), tangenttiapproksimaatio ja linearisointi pisteessä \(a\). Lineaarisessa arviossa \(f(x)\approx T(x)\) tehty virhe on

\[f(x)-T(x)=h\epsilon(h),\]

jolle pätee

\[\frac{\text{virhe}}{x\text{:n muutos}}=\frac{h\epsilon(h)}{h}=\epsilon(h)\to0,\quad\text{kun }h\to0.\]

Lähellä \(a\):ta tehty virhe on siis mitätön suhteessa etäisyyteen \(a\):sta ja \(f\):n kuvaaja näyttää likimain tangenttisuoraltaan \(y=f(a)+f'(a)(x-a)\)

Pohditaan nyt, miten yhden muuttujan funktion approksimointi ja derivoituvuus voidaan yleistää kahden muuttujan reaaliarvoiselle funktiolle. Osittaisderivaattojen avulla voidaan kahden muuttujan funktiolle \(f(x,y)\) kirjoittaa arviota (1) vastaavat arviot pisteen \((a,b)\) suhteen \(x\)- ja \(y\)-suunnissa. Merkitään siirtymää \(x\)-suunnassa \(h\):lla ja \(y\)-suunnassa \(k\):lla, ts. \(x=a+h\) ja \(y=b+k\). Oletetaan, että funktiolla \(f(x,y)\) on molemmat osittaisderivaatat pisteessä \((a,b)\). Jos \(y\) pidetään kiinnitettynä arvoon \(y=b\), niin funktio \(f_1(x)=f(x,b)\) on yhden muuttujan reaaliarvoinen funktio, jolle differentiaalikehitelmä (1) on

(4)¶\[f_1(a+h)=f(a+h,b)=f(a,b)+\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)h+\epsilon_1(h)h,\]

missä \(\epsilon_1(h)\to0\), kun \(h\to0\). Vastaavasti jos \(x\) pidetään kiinnitettynä arvoon \(x=a\), niin funktio \(f_2(y)=f(a,y)\) on yhden muuttujan reaaliarvoinen funktio, jolle differentiaalikehitelmä (1) on

(5)¶\[f_2(b+k)=f(a,b+k)=f(a,b)+\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)k+\epsilon_2(k)k,\]

missä \(\epsilon_2(k)\to0\), kun \(k\to0\). Pelkkä osittaisderivaattojen olemassaolo sitoo funktion käyttäytymistä kuitenkin vain koordinaattiakselien suunnissa, muissa suunnissa funktio voi käyttäytyä miten tahansa. Erityisesti osittaisderivaattojen olemassaolo ei takaa edes funktion jatkuvuutta toisin kuin yhden muuttujan funktion derivoituvuus. Esimerkiksi tästä käy funktion

\[\begin{split}f(x,y)=\begin{cases} 0,& \text{kun }xy=0,\\ 1& \text{muulloin} \end{cases}\end{split}\]

(ts. \(f=0\) koordinaattiakseleilla ja \(1\) muualla) käyttäytyminen origossa. Näin ollen osittaisderivaattojen olemassaolo (eli differentiaalikehitelmät (4) ja (5)) ei ole riittävän rajoittava määritelmä kahden muuttujan funktion derivoituvuudelle pisteessä \((a,b)\). Edetään sen sijaan yleistämällä yhtälön (2) vaatimus siten, että kahden muuttujan funktiota voidaan arvioida vastaavalla tavalla lineaarikuvauksella pisteen \((a,b)\) lähellä, eli

\[\begin{aligned} f(a+h,b+k)\approx f(a,b)+L(h,k), \end{aligned}\]

missä \(L\) on \(x\)- ja \(y\)-suuntaisten tangenttisuorien määräämä lineaarikuvaus \(L\colon\R^2\to\R\),

\[\begin{aligned} L(h,k)=\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)h+ \frac{\partial f}{\partial y}(a,b)k. \end{aligned}\]

Virheeltä vaaditaan, että virheen suhde etäisyyteen tarkastelupisteestä \((a,b)\) lähenee nollaa, kun lähestytään pistettä \((a,b)\). Kahden (ja useamman) muuttujan funktion tapauksessa on tapana puhua differentioituvuudesta derivoituvuuden sijaan.

Määritelmä 4.1.2

Funktio \(f\colon\R^2\to\R\) on differentioituva (differentiable) pisteessä \((a,b)\), jos \(f\):llä on ko. pisteessä molemmat osittaisderivaatat ja jos

(6)¶\[f(a+h,b+k)=f(a,b)+\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)h +\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)k+\epsilon(h,k)\|(h,k)\|,\]

missä \(\epsilon(h,k)\to0\), kun \((h,k)\to(0,0)\). Edelleen \(f\) on differentioituva, jos se on differentioituva jokaisessa määrittelyjoukkonsa pisteessä.

Vaaditaan siis, että lähellä pistettä \((a,b)\) funktio käyttäytyy kuten osittaisderivaattojen määräämien tangenttisuorien virittämä tangenttitaso

\[\begin{aligned} z=f(a,b)+\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)(x-a) +\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)(y-b)=:T(x,y) \end{aligned}\]

(ks. luku Tangenttitaso). Arviota

(7)¶\[\begin{split}\begin{aligned} f(a+h,b+k)&\approx f(a,b)+\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)h +\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)k\\ &=f(a,b)+L(h,k) \end{aligned}\end{split}\]

eli \(f(x,y)\approx T(x,y)\) kutsutaan funktion \(f\) tangenttitasoarvioksi tai lineaariseksi arvioksi (linear approximation) ja funktiota \(T(x,y)\) \(f\):n linearisoinniksi pisteen \((a,b)\) suhteen. Arviossa tehdyn virheen \(\epsilon(h,k)\|(h,k)\|\) suhde etäisyyteen pisteestä \((a,b)\) on

\[\begin{aligned} \frac{\epsilon(h,k)\|(h,k)\|}{\|(h,k)\|}=\epsilon(h,k)\to0 \end{aligned}\]

kun \((h,k)\to(0,0)\). Pisteitä \((a,b)\) ja \((x,y)\) sekä siirtymävektoria \((h,k)\) havainnollistetaan seuraavassa kuvassa:

Esimerkki 4.1.3

Osoita, että funktio \(f(x,y)=x^3+xy-y\) on differentioituva jokaisessa pisteessä \((a,b)\in\R^2\).

Piilota/näytä ratkaisu

Lasketaan ensin osittaisderivaatat:

\[\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=3x^2+y\quad\text{ja}\quad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x-1.\]

Ratkaistaan nyt määritelmän 4.1.2 funktio \(\epsilon(h,k)\) ja osoitetaan, että se on oikeaa muotoa:

\[\begin{split}\begin{aligned} &f(a+h,b+k)-f(a,b)-\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)h -\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)k\\ &=(a+h)^3+(a+h)(b+k)-(b+k)-(a^3+ab-b)\\ &\quad-(3a^2+b)h-(a-1)k\\ &=3ah^2+h^3+hk, \end{aligned}\end{split}\]

joten määritelmän 4.1.2 \(\epsilon\)-funktio on \(\epsilon(h,k)=\big(3ah^2+h^3+hk\big)\big/\sqrt{h^2+k^2}\). On osoitettava, että \(\epsilon(h,k)\to0\), kun \((h,k)\to(0,0)\). Näin on, sillä

\[\begin{split}\begin{aligned} 0&\le|\epsilon(h,k)|\le 3|a||h|\frac{|h|}{\sqrt{h^2+k^2}}+h^2\frac{|h|}{\sqrt{h^2+k^2}}+|k|\frac{|h|}{\sqrt{h^2+k^2}}\\ &\le3|a||h|+h^2+|k|\to0, \end{aligned}\end{split}\]

kun \((h,k)\to(0,0)\).

Esimerkki 4.1.4

Arvioi funktion \(f(x,y)=xe^{y+x^2}\) arvoa pisteessä \((x,y)=(2{,}05,\,-3{,}92)\) sopivalla lineaarisella approksimaatiolla.

Piilota/näytä ratkaisu

Muodostetaan lineaarinen arvio (7) pisteen \((a,b)=(2,-4)\) suhteen, jolloin \(h=x-a=2{,}05-2=0{,}05\) ja \(k=y-b=-3{,}92-(-4)=0{,}08\). Osittaisderivaatat ovat

\[\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=(1+2x^2)e^{y+x^2}\quad\text{ja}\quad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=xe^{y+x^2},\]

joten

\[\frac{\partial f}{\partial x}(2,-4)=9\quad\text{ja}\quad \frac{\partial f}{\partial y}(2,-4)=2.\]

Niinpä arvioksi saadaan

\[\begin{split}\begin{aligned} f(2{,}05,\,-3{,}92)&=f(2+0{,}05,-4+0{,}08)\\ &\approx f(2,-4)+\frac{\partial f}{\partial x}(2,-4)\cdot0{,}05+\frac{\partial f}{\partial y}(2,-4)\cdot0{,}08\\ &=2+9\cdot0{,}05+2\cdot0{,}08=2{,}61. \end{aligned}\end{split}\]

Laskimella oikeaksi nelidesimaaliseksi likiarvoksi nähdään \(f(2{,}05,\,-3{,}92)\approx2{,}7192\).

Derivaattamatriisi ja n:n muuttujan funktiot¶

Kahden muuttujan funktion differentioituvuuden määritelmässä 4.1.2 lineaarikuvauksen \(L(h,k)\) lauseke

\[\begin{aligned} L(h,k)=\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)h+\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)k \end{aligned}\]

voidaan esittää matriisitulona muodossa

\[\begin{split}\begin{aligned} L(h,k)= \begin{bmatrix} \dfrac{\partial f}{\partial x}(a,b)&\dfrac{\partial f}{\partial y}(a,b) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} h\\ k \end{bmatrix}. \end{aligned}\end{split}\]

Määritelmä 4.1.5

Olkoon funktiolla \(f\colon\R^n\to\R\) kaikki osittaisderivaatat pisteessä \(\bx\). Matriisia

\[\begin{aligned} f'(\bx)= \begin{bmatrix} \dfrac{\partial f}{\partial x_1}(\bx)&\cdots&\dfrac{\partial f}{\partial x_n}(\bx) \end{bmatrix} \end{aligned}\]

kutsutaan funktion \(f\) derivaattamatriisiksi (derivative matrix) pisteessä \(\bx\).

Merkitään \(\bx=(x,y)\), \(\ba=(a,b)\) ja \(\bh=(h,k)\), jolloin \(\bx=\ba+\bh\). Funktion \(f(x,y)\) differentioituvuuden määritelmän yhtälö (6) tulee nyt sievään muotoon

\[f(\ba+\bh)=f(\ba)+f'(\ba)\bh+\epsilon(\bh)\|\bh\|,\]

missä \(\bh\) tulkitaan pystyvektorina \(\bh=\begin{bmatrix}h\\k\end{bmatrix}\). \(n\):n muuttujan funktiolle merkitään \(\bh=[h_1\ h_2\cdots h_n]^T\), jolloin

\[\begin{split}\begin{aligned} f'(\ba)\bh&=\begin{bmatrix} \dfrac{\partial f}{\partial x_1}(\ba)& \dfrac{\partial f}{\partial x_2}(\ba)& \cdots& \dfrac{\partial f}{\partial x_n}(\ba) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} h_1\\h_2\\\vdots\\h_n \end{bmatrix}\\ &=\dfrac{\partial f}{\partial x_1}(\ba)h_1+\dfrac{\partial f}{\partial x_2}(\ba)h_2+\cdots+\dfrac{\partial f}{\partial x_n}(\ba)h_n. \end{aligned}\end{split}\]

Differentioituvuuden määritelmä \(n\):n muuttujan funktiolle on siten perusteltua asettaa seuraavasti:

Määritelmä 4.1.6

Funktio \(f\colon\R^n\to\R\) on differentioituva pisteessä \(\ba\in\R^n\), jos \(f\):llä on pisteessä \(\ba\) kaikki \(n\) osittaisderivaattaa ja jos

(8)¶\[f(\ba+\bh)=f(\ba)+f'(\ba)\bh+\epsilon(\bh)\|\bh\|,\]

missä \(\epsilon(\bh)\to0\), kun \(\bh\to\bo\). Edelleen \(f\) on differentioituva, jos se on differentioituva jokaisessa pisteessä.

Lineaarikuvausta \(L\colon\R^n\to\R\), \(L(\bh)=f'(\ba)\bh\), kutsutaan funktion derivaataksi pisteessä \(\ba\). Funktio \(T\colon\R^n\to\R\),

(9)¶\[T(\bx)=f(\ba)+f'(\ba)(\bx-\ba)=f(\ba)+L(\bh),\]

on \(f\):n linearisointi pisteen \(\ba\) suhteen ja arvio

\[f(\ba+\bh)\approx f(\ba)+f'(\ba)\bh=f(\ba)+L(\bh)\]

eli \(f(\bx)\approx T(\bx)\) on funktion \(f\) lineaarinen approksimaatio pisteen \(\ba\) suhteen.

Monesti linearisointi (9) kirjoitetaan kolmen muuttujan funktiolle \(f(x,y,z)\) seuraavia merkintöjä käyttäen:

\[\begin{split}\begin{aligned} \bx&=(x,y,z),\\ \ba&=\bx_0=(x_0,y_0,z_0),\\ \bh&=\bx-\bx_0=(x-x_0,y-y_0,z-z_0)=(\Delta x,\Delta y,\Delta z), \end{aligned}\end{split}\]

eli

\[\begin{split}\begin{cases} x=x_0+\Delta x,\\ y=y_0+\Delta y,\\ z=z_0+\Delta z, \end{cases}\end{split}\]

jolloin (9) tulee muotoon

(10)¶\[\begin{split}\boxed{\begin{aligned} T(x,y,z)=&f(x_0,y_0,z_0)+\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0,z_0)\Delta x\\ &+\dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0,z_0)\Delta y+\dfrac{\partial f}{\partial z}(x_0,y_0,z_0)\Delta z. \end{aligned}}\end{split}\]

Esimerkki 4.1.7

Laske funktion \(f(x,y,z)=\sqrt{x+2y+3z}\) linearisointi pisteen \((2,2,1)\) suhteen ja arvioi sen avulla funktion arvoa pisteessä \((2{,}1,\,1{,}8,\,1{,}3)\).

Piilota/näytä ratkaisu

Osittaisderivaatat:

\[\begin{split}\begin{aligned} &\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{1}{2\sqrt{x+2y+3z}}&&\Rightarrow\qquad\dfrac{\partial f}{\partial x}(2,2,1)=\frac16\\[8pt] &\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{1}{\sqrt{x+2y+3z}}&&\Rightarrow\qquad\dfrac{\partial f}{\partial x}(2,2,1)=\frac13\\[8pt] &\dfrac{\partial f}{\partial z}=\dfrac{3}{2\sqrt{x+2y+3z}}&&\Rightarrow\qquad\dfrac{\partial f}{\partial x}(2,2,1)=\frac14 \end{aligned}\end{split}\]

Koska \(f(2,2,1)=3\), saadaan linearisoinniksi

\[\begin{split}\begin{aligned} T(x,y,z)&=3+\frac16(x-2)+\frac13(y-2)+\frac14(z-1)\\ &=\frac16x+\frac13y+\frac14z+\frac74 \end{aligned}\end{split}\]

ja siten kysytty arvio on

\[f(2{,}1,\,1{,}8,\,1{,}3)\approx T(2{,}1,\,1{,}8,\,1{,}3) =\frac16\cdot2{,}1+\frac13\cdot1{,}8+\frac14\cdot1{,}3+\frac74 \approx3{,}025.\]

Voitaisiin laskea myös suoraan erotuksia \(\Delta x=2{,}1-2=0{,}1\), \(\Delta y=1{,}8-2=-0{,}2\) ja \(\Delta z=1{,}3-1=0{,}3\) käyttäen:

\[f(2{,}1,\,1{,}8,\,1{,}3)\approx3+\frac16\cdot0{,}1-\frac13\cdot0{,}2+\frac14\cdot0{,}3=3{,}025.\]

Huomautus 4.1.8

Monissa sovelluksissa linearisointia käytetään virheen arvioimiseen. Jos mittaustulokset ovat \(x_0\), \(y_0\) ja \(z_0\) ja niissä tehdyt virheet ovat \(\Delta x\), \(\Delta y\) ja \(\Delta z\), niin suureiden oikeat arvot ovat

\[\begin{split}\begin{cases} x=x_0+\Delta x,\\ y=y_0+\Delta y,\\ z=z_0+\Delta z. \end{cases}\end{split}\]

Riippukoon jokin (differentioituva) suure \(f\) suureista \(x\), \(y\) ja \(z\), eli \(f=f(x,y,z)\). Mittausten perusteella \(f\):lle saadaan laskettua arvo \(f(x_0,y_0,z_0)\), kun \(f\):n oikea arvo (jota ei siis tiedetä) on \(f(x,y,z)\). Merkitään näin syntyvää \(f\):n virhettä eli oikean arvon \(f(x,y,z)\) ja mittauksista lasketun arvon \(f(x_0,y_0,z_0)\) erotusta :math:`\Delta f`:llä:

\[\Delta f=f(x,y,z)-f(x_0,y_0,z_0).\]

Jos mittausten virheet \(\Delta x\), \(\Delta y\) ja \(\Delta z\) ovat pieniä, niin \(f\):n oikea arvo \(f(x,y,z)\) on likimain sama kuin lineaarinen approksimaatio pisteen \((x_0,y_0,z_0)\) suhteen, eli \(f(x,y,z)\approx T(x,y,z)\). Nyt kaavan (10) mukaan

(11)¶\[\begin{split}\begin{aligned} \Delta f&=f(x,y,z)-f(x_0,y_0,z_0)\\ &\approx T(x,y,z)-f(x_0,y_0,z_0)\\ &=\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0,z_0)\Delta x+\dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0,z_0)\Delta y+\dfrac{\partial f}{\partial z}(x_0,y_0,z_0)\Delta z \end{aligned}\end{split}\]

Mittaustulosten virheiden itseisarvoille arvioidaan mm. mittausmenetelmistä ja mittalaitteista johtuvat ylärajat:

\[\begin{split}\begin{cases} |\Delta x|\le D_x\\ |\Delta y|\le D_y\\ |\Delta z|\le D_z \end{cases}\end{split}\]

Tämä tarkoittaa, että virheillä on rajat

\[\begin{split}\begin{cases} -D_x\le\Delta x\le D_x,\\ -D_y\le\Delta y\le D_y,\\ -D_z\le\Delta z\le D_z, \end{cases}\end{split}\]

ja mitattujen suureiden oikeilla arvoilla \(x\), \(y\) ja \(z\) on rajat

\[\begin{split}\begin{cases} x_0-D_x\le x\le x_0+D_x,\\ y_0-D_y\le y\le y_0+D_y,\\ z_0-D_z\le z\le z_0+D_z. \end{cases}\end{split}\]

Virheet \(\Delta x\), \(\Delta y\) ja \(\Delta z\), kuten myös \(f\):n virhe \(\Delta f\), voivat olla positiivisia tai negatiivisia. Yleensä virheiden etumerkkejä ei tiedetä, joten on tyydyttävä arvioimaan \(f\):n virheen itseisarvoa. Yhtälöstä (11) saadaan kolmioepäyhtälöä käyttämällä

\[\begin{split}\begin{aligned} |\Delta f| &\approx\left|\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0,z_0)\Delta x +\dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0,z_0)\Delta y +\dfrac{\partial f}{\partial z}(x_0,y_0,z_0)\Delta z\right|\\ &\le\left|\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0,z_0)\right||\Delta x| +\left|\dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0,z_0)\right||\Delta y| +\left|\dfrac{\partial f}{\partial z}(x_0,y_0,z_0)\right||\Delta z|. \end{aligned}\end{split}\]

Jos siis \(f\) on differentioituva (esim. kaikki osittaisderivaatat ovat jatkuvia), mittaustulokset ovat \(x_0\), \(y_0\) ja \(z_0\) ja niiden virheiden itseisarvot ovat pieniä ja korkeintaan \(D_x\), \(D_y\) ja \(D_z\), niin voidaan arvioida

\[\boxed{|\Delta f| \lesssim\left|\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0,z_0)\right|D_x +\left|\dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0,z_0)\right|D_y +\left|\dfrac{\partial f}{\partial z}(x_0,y_0,z_0)\right|D_z.}\]

Esimerkki 4.1.9

Valmistetaan kuutio, jonka särmien pituuksiksi mitataan \(x_0\), \(y_0\) ja \(z_0\) (mm). Jos näiden mittojen virheet ovat \(\Delta x\), \(\Delta y\) ja \(\Delta z\) (mm), niin oikeat mitat ovat

\[\begin{split}\begin{cases} x=x_0+\Delta x,\\ y=y_0+\Delta y,\\ z=z_0+\Delta z. \end{cases}\end{split}\]

Tilavuuden \(V=V(x,y,z)=xyz\) virhettä eli oikean arvon \(V(x,y,z)\) ja mitatun arvon \(V(x_0,y_0,z_0)\) erotusta voidaan arvioida

(12)¶\[\begin{split}\begin{aligned} \Delta V&=V(x,y,z)-V(x_0,y_0,z_0)\\ &\approx\dfrac{\partial V}{\partial x}(x_0,y_0,z_0)\Delta x+\dfrac{\partial V}{\partial y}(x_0,y_0,z_0)\Delta y+\dfrac{\partial V}{\partial z}(x_0,y_0,z_0)\Delta z\\ &=y_0z_0\Delta x+x_0z_0\Delta y+x_0y_0\Delta z. \end{aligned}\end{split}\]

a) Särmien pituuksiksi mitataan \(x_0=y_0=z_0=100\)mm yhden millimetrin tarkkuudella. Arvioi tilavuuden \(V\) virhettä \(\Delta V\).

b) Jos \(x\) mitataan \(1\)%:n tarkkuudella, \(y\) \(2\)%:n tarkkuudella ja \(z\) \(3\)%:n tarkkuudella, niin arvioi tilavuuden suhteellista virhettä.

Piilota/näytä ratkaisu

(13)¶\[\Delta V\approx y_0z_0\Delta x+x_0z_0\Delta y+x_0y_0\Delta z =10~000(\Delta x+\Delta y+\Delta z).\]

Virhe voi olla negatiivinen (jos oikea arvo < mitattu arvo) tai positiivinen (jos oikea arvo > mitattu arvo), joten on syytä arvioida virheen itseisarvoa. Kolmioepäyhtälön nojalla

\[|\Delta V|\lesssim10~000(|\Delta x|+|\Delta y|+|\Delta z|) \le10~000(1+1+1)=30~000.\]

Koska \(V(100,100,100)=1~000~000\), niin tilavuudelle \(V\) saadaan arvio

\(97~000\lesssim V\lesssim 1~030~000\), ts. \(V=(1~000~000\pm30~000)\)mm\(^3\).

Piilota/näytä ratkaisu

Yhden prosentin tarkkuus pituudessa \(x\) tarkoittaa, että pituuden \(x\) suhteellinen virhe eli virhe/oikea arvo on alle prosentin. Koska virhe voi olla positiivinen tai negatiivinen, niin käytetään itseisarvoja, eli \(|\Delta x|/|x|\le0{,}01\). Vastaavasti \(|\Delta y|/|y|\le0{,}02\) ja \(|\Delta z|/|z|\le0{,}03\). Tilavuuden oikea arvo on \(V=xyz\), joten suhteellisen virheen itseisarvolle pätee

\[\begin{split}\begin{aligned} \frac{|\Delta V|}{|V|} &\approx\left|\frac{y_0z_0\Delta x+x_0z_0\Delta y+x_0y_0\Delta z}{xyz}\right|&&\text{(arvio \eqref{kaav-Varvio})}\\ &\approx\left|\frac{yz\Delta x+xz\Delta y+xy\Delta z}{xyz}\right|&&(x_0\approx x,\ y_0\approx y,\ z_0\approx z)\\ &=\left|\frac{\Delta x}{x}+\frac{\Delta y}{y}+\frac{\Delta z}{z}\right|\\ &\le\frac{|\Delta x|}{|x|}+\frac{|\Delta y|}{|y|}+\frac{|\Delta z|}{|z|}&&\text{(kolmioepäyhtälö)}\\ &\le0{,}01+0{,}02+0{,}03=0{,}06. \end{aligned}\end{split}\]

Näin ollen \(V\):n suhteellisen virheen arvioidaan olevan korkeintaan \(6\)%.

Tässä arvioitiin, että mitatut pituudet ovat lähellä oikeita pituuksia eli \(x_0\approx x\), \(y_0\approx y\) ja \(z_0\approx z\). Tämän jälkeen suhteellisen virheen lauseke sieveni sopivaan muotoon, jossa esiintyy vain \(x\):n, \(y\):n ja \(z\):n suhteelliset virheet, jotka oletettiin tunnetuiksi. Tilavuuden suhteellinen virhe ei siis riipu sivujen pituuksista, vaan ainoastaan pituuksien suhteellisista virheistä. Näin ei käy kaikille funktioille, eli mittaustulosten perusteella lasketun suureen suhteellinen virhe saattaa riippua myös mittaustulosten arvoista.

Lause 4.1.10

Pisteessä \(\ba\in\R^n\) differentioituva funktio \(f\colon\R^n\to\R\) on jatkuva pisteessä \(\ba\).

Piilota/näytä todistus

\(f(\ba+\bh)=f(\ba)+f'(\ba)\bh+\epsilon(\bh)\|\bh\|\to f(\ba)\), kun \(\bh\to\bo\).

Funktion toteaminen differentioituvaksi suoraan määritelmää käyttäen on hankalaa. Usein sovelluksissa funktion osittaisderivaatat ovat jatkuvia, mikä seuraavan lauseen mukaan riittää takaamaan differentioituvuuden.

Määritelmä 4.1.11

Jos funktiolla \(f\colon\R^n\to\R\) on jatkuvat osittaisderivaatat \(\frac{\partial f}{\partial x_i}(\bx)\), niin sanotaan, että \(f\) on jatkuvasti differentioituva (continuously differentiable).

Lause 4.1.12

Jatkuvasti differentioituva funktio \(f\colon\R^n\to\R\) on differentioituva.

Piilota/näytä todistus

Todistetaan väite kahden muuttujan funktiolle \(f\colon\R^2\to\R\) (\(n\):n muuttujan tapaus vastaavasti). Tarkastellaan \(f\):n differentioituvuutta pisteessä \((a,b)\):

\[\begin{split}\begin{aligned} &f(a+h,b+k)-f(a,b)\\ &=[f(a+h,b+k)-f(a+h,b)]+[f(a+h,b)-f(a,b)]\\ &=\left[\frac{\partial f}{\partial y}(a+h,b+t_1)k\right] +\left[\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)h+\epsilon_1(h)h\right]. \end{aligned}\end{split}\]

Tässä ensimmäisessä hakasulkulausekkeessa on sovellettu differentiaalilaskennan väliarvolausetta (Plussa: APK, Lause 5.6.11) funktioon \(g(t)=f(a+h,b+t)\) välillä \([0,k]\) tai \([k,0]\) (riippuen \(k\):n etumerkistä). Luku \(t_1\) on \(0\):n ja \(k\):n välissä ja riippuu sekä \(h\):sta että \(k\):sta, ts. \(t_1=t_1(h,k)\). Toisessa hakasulkulausekkeessa on kirjoitettu osittaisderivaatan \(\frac{\partial f}{\partial x}\) määritelmä pisteessä \((a,b)\). Vertaa määritelmän 4.1.2 jälkeiseen kuvaan. Koska \(\frac{\partial f}{\partial y}\) on jatkuva, niin

\[\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial y}(a+h,b+t_1)=\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)+\epsilon_2(h,t_1), \end{aligned}\]

missä \(\epsilon_2(h,t_1)\to0\), kun \((h,t_1)\to(0,0)\). Koska \(t_1\) on \(0\):n ja \(k\):n välissä, niin \((h,t_1)\to(0,0)\), ja siten \(\epsilon_2(h,t_1)\to0\), kun \((h,k)\to(0,0)\). Nyt

\[\begin{aligned} f(a+h,b+k)-f(a,b) =\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)h+\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)k+ \epsilon_1(h)h+\epsilon_2(h,t_1)k. \end{aligned}\]

On osoitettava, että virhetermi on oikeaa muotoa, ts. että jos valitaan \(\epsilon(h,k)\) siten, että

\[\begin{aligned} \epsilon_1(h)h+\epsilon_2(h,t_1)k=\epsilon(h,k)\|(h,k)\|, \end{aligned}\]

niin \(\epsilon(h,k)\to0\), kun \((h,k)\to(0,0)\). Näin on, sillä

\[\begin{split}\begin{aligned} |\epsilon(h,k)|&=\frac{|\epsilon_1(h)h+\epsilon_2(h,t_1)k|}{\|(h,k)\|} \le|\epsilon_1(h)|\frac{|h|}{\sqrt{h^2+k^2}} +|\epsilon_2(h,t_1)|\frac{|k|}{\sqrt{h^2+k^2}}\\ &\le|\epsilon_1(h)|+|\epsilon_2(h,t_1)|\to0, \end{aligned}\end{split}\]

kun \((h,k)\to(0,0)\).

Esimerkki 4.1.13

Esimerkissa 4.1.3 funktio \(f(x,y)=x^3+xy-y\) todistettiin differentioituvaksi käyttäen differentioituvuuden määritelmää. Lauseen 4.1.12 mukaan \(f\):n osoittamiseksi differentioituvaksi riittää todeta, että \(f\):n osittaisderivaatat \(f_x(x,y)=3x^2+y\) ja \(f_y(x,y)=x-1\) ovat jatkuvia.